9.1 切丛

为便于说明，我们先从一个启发性的例子入手。$m$ 维流形 $M$ 上的切丛(tangent bundle) $TM$ 是 $M$ 的所有切空间的集合：

$$TM\equiv \bigcup _{p\in M}{T}_{p}M.\text{\hspace{1em}(9.1)}$$

定义 $TM$ 所依托的流形 $M$ 称为底空间(base space)。设 $\{U_i\}$ 是 $M$ 的一个开覆盖。若 $x^{\mu }={\phi }_i(p)$ 是 $U_i$ 上的坐标，则

$$T{U}_i\equiv \bigcup _{p\in U_i}{T}_{p}M$$

中的一个元素由一点 $p\in M$ 和一个向量 $V=V^{\mu }(p)(\partial /\partial x^{\mu }){|}_p\in T_{p}M$ 确定。注意到 $U_i$ 同胚于 ${\mathbb{R}}^m$ 的一个开子集 $\phi (U_i)$，且每个 $T_{p}M$ 都同胚于 ${\mathbb{R}}^m$，于是可知 $T{U}_i$ 可与直积 ${\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^m$ 等同起来（图 9.1）。若 $(p,V)\in T{U}_i$，则这种等同由 $(p,V)\mapsto (x^{\mu }(p),V^{\mu }(p))$ 给出。$T{U}_i$ 是一个 2m 维的可微流形。更有甚者，$T{U}_i$ 可分解为直积 $U_i\times {\mathbb{R}}^m$。若在 $T{U}_i$ 中取一点 $u$，我们就能把 $u$ 所含的信息系统地分解为一点 $p\in M$ 和一个向量 $V\in T_{p}M$。这样，我们便自然地引出**投影映射** $\pi :T{U}_i\to U_i$ 的概念（图 9.1）。对任意一点 $u\in T{U}_i$，$\pi (u)$ 就是定义该向量的那一点 $p\in U_i$。至于向量的信息

图 9.1. 切丛 $TM$ 的一个局部片段 $T{U}_i\simeq {\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^m$。投影映射 $\pi$ 把向量 $V\in T_{p}M$ 投影到 $p$。

在投影映射下完全丢失。注意 ${\pi }^{-1}(p)=T_{p}M$。在纤维丛理论的语境中，$T_{p}M$ 称为 $p$ 处的纤维(fibre)。

由构造显然可见，若 $M={\mathbb{R}}^m$，则切丛本身可表示为直积 ${\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^m$。然而情况并非总是如此，切丛的非平凡结构恰恰刻画了 $M$ 的拓扑非平凡性。为看清这一点，我们不能只看单个坐标卡 $U_i$，还须考察其他坐标卡。设 $U_j$ 是满足 $U_i\cap U_j\ne \varnothing$ 的坐标卡，并设 $y^{\mu }=\psi (p)$ 是 $U_j$ 上的坐标。取向量 $V\in T_{p}M$，其中 $p\in U_i\cap U_j$。$V$ 有两种坐标表示，

$$V=V^{\mu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}{|}_p={\tilde{V}}^{\mu }\frac{\partial }{\partial y^{\mu }}{|}_p.\text{\hspace{1em}(9.2)}$$

容易看出它们之间的关系为

$${\tilde{V}}^{\nu }=\frac{\partial y^{\nu }}{\partial x^{\mu }}(p)V^{\mu }.\text{\hspace{1em}(9.3)}$$

要使 $\{x^{\mu }\}$ 与 $\{y^{\nu }\}$ 成为良好的坐标系，矩阵 $(G_{\mu }^{\nu })\equiv (\partial y^{\nu }/\partial x^{\mu })$ 必须是非奇异的：$(G_{\mu }^{\nu })\in \mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$。因此，每当我们改变坐标时，纤维坐标就由一个 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 中的元素作旋转。群 $\mathrm{GL}(m,\mathbb{R})$ 称为 $TM$ 的结构群。纤维正是以这种方式交织在一起，构成切丛，因而切丛可以具有相当复杂的拓扑结构。

顺带指出，投影映射 $\pi$ 可以在 $M$ 上整体地定义。显然，$\pi (u)=p$ 并不依赖于所选取的特定坐标。因此，$\pi :TM\to M$ 是整体定义的，无需借助坐标卡。

设 $X\in \mathcal{X}(M)$ 是 $M$ 上的一个向量场。$X$ 在每一点 $p\in M$ 处指定一个向量 $X{|}_p\in T_{p}M$。从我们的观点看，$X$ 被看作一个可微映射 $M\to TM$。这个映射并非完全任意，因为点 $p$ 必须被映到满足 $\pi (u)=p$ 的点 $u\in TM$。我们把 $TM$ 的截面(section)（或横截面）定义为满足 $\pi \circ s={\mathrm{id}}_M$ 的可微映射 $s:M\to TM$。若截面 $s_i:U_i\to T{U}_i$ 只在坐标卡 $U_i$ 上有定义，则称它为局部截面(local section)。

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