9.2 纤维丛

上一节中的切丛是称为纤维丛的更一般框架的一个例子。下面给出相关定义。

9.2.1 定义

定义 9.1 纤维丛、全空间、底空间

一个（可微）纤维丛(fibre bundle) $(E, π, M, F, G)$ 由下列要素组成：

(i) 一个可微流形 $E$ ，称为全空间(total space)。

(ii) 一个可微流形 $M$ ，称为底空间(base space)。

(iii) 一个可微流形 $F$ ，称为纤维(fibre)（或典型纤维）。

(iv) 一个满射 $π : E \to M$ ，称为投影映射(projection)。逆像 $π^{- 1} (p) = F_{p} ≅ F$ 称为点 $p$ 处的纤维。

(v) 一个李群 $G$ ，称为结构群(structure group)，它左作用在 $F$ 上。

(vi) 一组 $M$ 的开覆盖 ${U_{i}}$ ，以及微分同胚 $ϕ_{i} : U_{i} \times F \to π^{- 1} (U_{i})$ ，使得 $π \circ ϕ_{i} (p, f) = p$ 。映射 $ϕ_{i}$ 称为局部平凡化(local trivialization)，因为 $ϕ_{i}^{- 1}$ 把 $π^{- 1} (U_{i})$ 映到直积 $U_{i} \times F$ 上。

(vii) 若记 $ϕ_{i} (p, f) = ϕ_{i, p} (f)$ ，则映射 $ϕ_{i, p} : F \to F_{p}$ 是微分同胚。在 $U_{i} \cap U_{j} \neq = \emptyset$ 上，我们要求 $t_{ij} (p) \equiv ϕ_{i, p}^{- 1} \circ ϕ_{j, p} : F \to F$ 是 $G$ 的元素。于是 $ϕ_{i}$ 与 $ϕ_{j}$ 通过光滑映射 $t_{ij} : U_{i} \cap U_{j} \to G$ 相联系，如图 9.2所示

图 9.2. 在交叠区域 $U_{i} \cap U_{j}$ 上，同一元素 $u \in π^{- 1} (p)$ （其中 $p \in U_{i} \cap U_{j}$ ）被赋予两个元素 $f_{i}, f_{j} \in F$ 。它们通过 $t_{ij} (p)$ 相联系，如 $f_{i} = t_{ij} (p) f_{j}$ 。

$ϕ_{j} (p, f) = ϕ_{i} (p, t_{ij} (p) f) . (9.4)$
映射 $t_{ij}$ 称为过渡函数(transition function)。

[注：我们常用简写 $E π M$ 或干脆用 $E$ 来表示纤维丛 $(E, π, M, F, G)$ 。]

严格说来，纤维丛的定义应当与 $M$ 的特定覆盖 ${U_{i}}$ 无关。在数学文献中，这一说法被用来定义坐标丛 $(E, π, M, F, G, {U_{i}}, {ϕ_{i}})$ 。若 $(E, π, M, F, G, {U_{i}} \cup {V_{j}}, {ϕ_{i}} \cup {ψ_{j}})$ 仍是坐标丛，则称两个坐标丛 $(E, π, M, F, G, {U_{i}}, {ϕ_{i}})$ 与 $(E, π, M, F, G, {V_{i}}, {ψ_{i}})$ 等价。纤维丛定义为坐标丛的等价类。然而在物理学的实际应用中，我们总是采用某个

确定的覆盖，并且不区分坐标丛与纤维丛。]

我们需要澄清几点。取底空间 $M$ 的一个坐标卡 $U_{i}$ 。 $π^{- 1} (U_{i})$ 是一个直积，与 $U_{i} \times F$ 微分同胚，其中 $ϕ_{i}^{- 1} : π^{- 1} (U_{i}) \to U_{i} \times F$ 就是该微分同胚。若 $U_{i} \cap U_{j} \neq = \emptyset$ ，则在 $U_{i} \cap U_{j}$ 上有两个映射 $ϕ_{i}$ 和 $ϕ_{j}$ 。取一点 $u$ ，使得 $π (u) = p \in U_{i} \cap U_{j}$ 。于是我们得到 $F$ 的两个元素，一个由 $ϕ_{i}^{- 1}$ 给出，另一个由 $ϕ_{j}^{- 1}$ 给出，

$ϕ_{i}^{- 1} (u) = (p, f_{i}), ϕ_{j}^{- 1} (u) = (p, f_{j}) (9.5)$
见图 9.2。存在映射 $t_{ij} : U_{i} \cap U_{j} \to G$ ，它把 $f_{i}$ 与 $f_{j}$ 联系起来，即 $f_{i} = t_{ij} (p) f_{j}$ 。这也写作(9.4)。

我们要求过渡函数满足如下相容性条件：

$t_{ii} (p) = 恒等映射 (p \in U_{i}) (9.6a)$
$t_{ij} (p) = t_{j i} (p)^{- 1} (p \in U_{i} \cap U_{j}) (9.6b)$
$t_{ij} (p) \cdot t_{j k} (p) = t_{ik} (p) (p \in U_{i} \cap U_{j} \cap U_{k}) . (9.6c)$
除非这些条件得到满足，纤维丛的各个局部片段就无法相容地粘合起来。若所有过渡函数都可取为恒等映射，则称该纤维丛为平凡丛(trivial bundle)。平凡丛就是直积 $M \times F$ 。

给定纤维丛 $E π M$ ，可能的过渡函数集合显然远非唯一。设 ${U_{i}}$ 是 $M$ 的一个覆盖， ${ϕ_{i}}$ 与 ${\tilde{ϕ}_{i}}$ 是给出同一纤维丛的两组局部平凡化。各自的局部平凡化的过渡函数为

$t_{ij} (p) = ϕ_{i, p}^{- 1} \circ ϕ_{j, p} (9.7a)$
$\tilde{t}_{ij} (p) = \tilde{ϕ}_{i, p}^{- 1} \circ \tilde{ϕ}_{j, p} . (9.7b)$
在每一点 $p \in M$ 处定义映射 $g_{i} (p) : F \to F$ 为

$g_{i} (p) \equiv ϕ_{i, p}^{- 1} \circ \tilde{ϕ}_{i, p} . (9.8)$
我们要求 $g_{i} (p)$ 是属于 $G$ 的同胚。若 ${ϕ_{i}}$ 与 ${\tilde{ϕ}_{i}}$ 描述的是同一个纤维丛，这一要求当然必须满足。由(9.7)和(9.8)容易看出

$\tilde{t}_{ij} (p) = g_{i} (p)^{- 1} \circ t_{ij} (p) \circ g_{j} (p) . (9.9)$
在以后将要遇到的实际情况中， $t_{ij}$ 是把局部坐标卡粘合起来所需的规范变换，而 $g_{i}$ 则对应于坐标卡 $U_{i}$ 内部的规范自由度。若丛是平凡的，我们可以把所有过渡函数都取为恒等映射。此时过渡函数的最一般形式为

$t_{ij} (p) = g_{i} (p)^{- 1} g_{j} (p) . (9.10)$
设 $E π M$ 是一个纤维丛。一个截面(section)（或横截面） $s : M \to E$ 是满足 $π \circ s = id_{M}$ 的光滑映射。显然， $s (p) = s ∣_{p}$ 是 $F_{p} = π^{- 1} (p)$ 的元素。 $M$ 上截面的集合记作 $Γ (M, F)$ 。若 $U \subset M$ ，我们可以谈论只在 $U$ 上定义的局部截面(local section)。 $Γ (U, F)$ 表示 $U$ 上局部截面的集合。例如， $Γ (M, T M)$ 等同于向量场的集合 $X (M)$ 。应当注意，并非所有纤维丛都容许整体截面。

例 9.1

设 $E$ 是以 $F = [- 1, 1]$ 为典型纤维的纤维丛 $E π S^{1}$ 。设 $U_{1} = (0, 2 π)$ 与 $U_{2} = (- π, π)$ 是 $S^{1}$ 的一个开覆盖，并设 $A = (0, π)$ 与 $B = (π, 2 π)$ 为其交集 $U_{1} \cap U_{2}$ ，如图 9.3所示。局部平凡化 $ϕ_{1}$ 与 $ϕ_{2}$ 由下式给出

图 9.3. 底空间 $S^{1}$ 以及其上使纤维丛平凡化的两个坐标卡 $U_{1}$ 与 $U_{2}$ 。

$ϕ_{1}^{- 1} (u) = (θ, t), ϕ_{2}^{- 1} (u) = (θ, t)$
其中 $θ \in A$ ， $t \in F$ 。过渡函数 $t_{12} (θ)$ （ $θ \in A$ ）是恒等映射 $t_{12} (θ) : t \mapsto t$ 。在 $B$ 上我们有两种选择：

(I) $ϕ_{1}^{- 1} (u) = (θ, t), ϕ_{2}^{- 1} (u) = (θ, t)$ (II) $ϕ_{1}^{- 1} (u) = (θ, t), ϕ_{2}^{- 1} (u) = (θ, - t)$

对于情形 (I)，我们发现 $t_{12} (θ)$ 是恒等映射，两片局部丛粘合起来构成一个圆柱面（图 9.4(a)）。对于情形 (II)，有 $t_{12} (θ) : t \mapsto - t, θ \in B$ ，于是得到莫比乌斯带（图 9.4(b)）。因此，圆柱面的结构群是平凡群 $G = {e}$ ，其中 $e$ 是把 $F$ 恒等地映到 $F$ 的恒等映射；而莫比乌斯带的结构群是 $G = {e, g}$ ，其中 $g : t \mapsto - t$ 。由于 $g^{2} = e$ ，可得 $G ≅ Z_{2}$ 。圆柱面是平凡丛 $S^{1} \times F$ ，而莫比乌斯带则不是。[注：群 $Z_{2}$ 不是李群。这是我们唯一一次用离散群作为结构群。]

(a)

(b)

图 9.4. $S^{1}$ 上的两个纤维丛：(a) 是圆柱面，它是平凡丛 $S^{1} \times I$ ；(b) 是莫比乌斯带。

9.2.2 纤维丛的重构

构造一个纤维丛所需的最少信息是什么？下面我们将说明，给定 $M$ 、 ${U_{i}}$ 、 $t_{ij} (p)$ 、 $F$ 与 $G$ ，便可重构出纤维丛 $(E, π, M, F, G)$ 。这归结为从给定数据中唯一地确定 $π$ 、 $E$ 与 $ϕ_{i}$ 。我们定义

X \equiv i ⋃ U_{i} \times F . (9.11)

在 $(p, f) \in U_{i} \times F$ 与 $(q, f^{'}) \in U_{j} \times F$ 之间引入等价关系 $\sim$ ： $(p, f) \sim (q, f^{'})$ 当且仅当 $p = q$ 且 $f^{'} = t_{ij} (p) f$ 。纤维

丛 $E$ 则定义为

E = X / \sim . (9.12)

将 $E$ 中的元素记作 $[(p, f)]$ 。投影映射由下式给出

π : [(p, f)] \mapsto p . (9.13)

局部平凡化 $ϕ_{i} : U_{i} \times F \to π^{- 1} (U_{i})$ 由下式给出

ϕ_{i} : (p, f) \mapsto [(p, f)] . (9.14)

读者应验证，如此定义的 $E, π$ 与 ${ϕ_{i}}$ 满足纤维丛的全部公理。因此，给定数据唯一地重构出纤维丛 $E$ 。

这一程序可用来由旧的纤维丛构造新的纤维丛。设 $(E, π, M, F, G)$ 为一个纤维丛，则可联系于它构造一个新丛，其底空间为 $M$ ，过渡函数为 $t_{ij} (p)$ ，结构群为 $G$ ，纤维为 $F^{'}$ ，而 $G$ 作用在其上。伴随丛的例子将在后面给出。

9.2.3 丛映射

设 $E π M$ 与 $E^{'} π^{'} M^{'}$ 为纤维丛。若光滑映射 $\overset{ˉ}{f} : E^{'} \to E$ 把 $E^{'}$ 的每个纤维 $F_{p}^{'}$ 映到 $E$ 的纤维 $F_{q}$ 上，则称 $\overset{ˉ}{f} : E^{'} \to E$ 为丛映射(bundle map)。此时 $\overset{ˉ}{f}$ 自然地诱导出光滑映射 $f : M^{'} \to M$ ，使得 $f (p) = q$ （图 9.5）。注意下图

图 9.5. 丛映射 $\overset{ˉ}{f} : E^{'} \to E$ 诱导出映射 $f : M^{'} \to M$ 。

E^{'} π^{'} ↓ ⏐ M^{'} ⟶ \overset{ˉ}{f} ⟶ f E ↓ ⏐ π M u π^{'} ↓ ⏐ p ⟶ \overset{ˉ}{f} ⟶ f \overset{ˉ}{f} (u) ↓ ⏐ π q (9.15)

交换。[注意：光滑映射 $\overset{ˉ}{f} : E^{'} \to E$ 未必是丛映射。它可能把 $E^{'}$ 中的 $u, v \in F_{p}^{'}$ 分别映到 $E$ 的不同纤维上的 $\overset{ˉ}{f} (u)$ 与 $\overset{ˉ}{f} (v)$ ，从而 $π (\overset{ˉ}{f} (u)) \neq = π (\overset{ˉ}{f} (v))$ 。]

9.2.4 等价的丛

若存在丛映射 $\overset{ˉ}{f} : E^{'} \to E$ ，使得 $f : M \to M$ 为恒等映射且 $\overset{ˉ}{f}$ 为微分同胚，则称两个丛 $E^{'} π^{'} M$ 与 $E π M$ 是等价的(equivalent bundle)：

E^{'} π^{'} ↓ M ⟶ \overset{ˉ}{f} ⟶ id_{M} E ↓ π M . (9.16)

这一关于等价丛的定义与定义 9.1之后的注记中所给出的定义是一致的。

9.2.5 拉回丛

设 $E π M$ 是以 $F$ 为典型纤维的纤维丛。若给定映射 $f : N \to M$ ，则数偶 $(E, f)$ 在 $N$ 上定义了一个新的纤维丛，其纤维仍为 $F$ （图 9.6）。设 $f^{*} E$ 是 $N \times E$ 的子空间(pullback)，它由满足 $f (p) = π (u)$ 的点 $(p, u)$ 组成。称 $f^{*} E \equiv {(p, u) \in N \times E ∣ f (p) = π (u)}$ 为 $E$ 沿 $f$ 的拉回。 $f^{*} E$ 的纤维 $F_{p}$ 恰好是 $E$ 的纤维 $F_{f (p)}$ 的一个副本。若用 $π_{1} : (p, u) \mapsto p$ 定义 $f^{*} E π_{1} N$ ，用 $(p, u) \mapsto u$ 定义 $f^{*} E π_{2} E$ ，则拉回 $f^{*} E$ 可赋予纤维丛的结构，并得到如下丛映射：

图 9.6. 给定纤维丛 $E π M$ ，映射 $f : N \to M$ 在 $N$ 上定义出一个拉回丛 $f^{*} E$ 。

f^{*} E π_{1} ↓ ⏐ N π_{2} f E ↓ ⏐ π M (p, u) π_{1} ↓ ⏐ p π_{2} f u ↓ ⏐ π f (p) . (9.17)

由于对 $(p, u) \in f^{*} E$ 有 $π (π_{2} (p, u)) = π (u) = f (p) = f (π_{1} (p, u))$ ，该图交换。特别地，若 $N = M$ 且 $f = id_{M}$ ，则两个纤维丛 $f^{*} E$ 与 $E$ 等价。

设 ${U_{i}}$ 是 $M$ 的一个覆盖， ${ϕ_{i}}$ 是局部平凡化。 ${f^{- 1} (U_{i})}$ 定义了 $N$ 的一个覆盖，使得 $f^{*} E$ 是局部平凡的。取 $u \in E$ ，使得对某个 $p \in N$ 有 $π (u) = f (p) \in U_{i}$ 。若 $ϕ_{i}^{- 1} (u) = (f (p), f_{i})$ ，则可找到 $ψ_{i}^{- 1} (p, u) = (p, f_{i})$ ，其中 $ψ_{i}$ 是 $f^{*} E$ 的局部平凡化。在 $f (p) \in U_{i} \cap U_{j}$ 处的过渡函数 $t_{ij}$ 把 $f_{j}$ 映为 $f_{i} = t_{ij} (f (p)) f_{j}$ 。而 $f^{*} E$ 在 $p \in f^{- 1} (U_{i}) \cap f^{- 1} (U_{j})$ 处的相应过渡函数 $t_{ij}^{*}$ 也把 $f_{j}$ 映为 $f_{i}$ ；如图 9.7所示。这表明

图 9.7. 拉回丛 $f^{*} E$ 的过渡函数 $t_{ij}^{*}$ 是 $E$ 的过渡函数 $t_{ij}$ 的拉回。

t_{ij}^{*} (p) = t_{ij} (f (p)) . (9.18)

例 9.2

设 $M$ 与 $N$ 是可微流形，且 $dim M = dim N = m$ 。设 $f : N \to M$ 为可微映射。则 $f$ 诱导出映射 $π_{2} : T N \to T M$ ，使得下图交换：

$T N π_{1} ↓ ⏐ N π_{2} f T M ↓ ⏐ π M . (9.19)$
设 $W = W^{ν} \partial / \partial y^{ν}$ 是 $T_{p} N$ 中的向量， $V = V^{μ} \partial / \partial x^{μ}$ 是 $T_{f (p)} M$ 中与之对应的向量。若 $T N$ 是拉回丛 $f^{*} (T M)$ ，则 $π_{2}$ 把 $T_{p} N$ 微分同胚地映到 $T_{f (p)} M$ 上。这当且仅当 $π_{2}$ 在 $m$ 的每一点处都具有最大秩时才可能。

设 $φ (f (p)) = (f^{1} (y), \dots, f^{m} (y))$ 是 $f (p)$ 在 $M$ 的坐标卡 $(U, φ)$ 中的坐标，其中 $y = φ (p)$ 是 $p$ 在 $N$ 的坐标卡 $(V, ψ)$ 中的坐标。 $T N$ 的每一点处都满足最大秩条件，即对任意 $p \in N$ 都有 $det (\partial f^{μ} (y) / \partial y^{ν}) \neq = 0$ 。

9.2.6 同伦公理

设 $f$ 与 $g$ 是从 $M^{'}$ 到 $M$ 的映射。若存在可微映射 $F : M^{'} \times [0, 1] \to M$ ，使得对任意 $p \in M^{'}$ 都有 $F (p, 0) = f (p)$ 且 $F (p, 1) = g (p)$ ，则称它们为同伦的(homotopic)，参见4.2 节。

定理 9.1

设 $E π M$ 是以 $F$ 为纤维的纤维丛， $f$ 与 $g$ 是从 $N$ 到 $M$ 的同伦映射。则 $f^{*} E$ 与 $g^{*} E$ 是 $N$ 上的等价丛。

证明见 Steenrod (1951)。设 $M$ 是一个可缩为一点的流形，则存在同伦 $F : M \times I \to M$ ，使得

F (p, 0) = p F (p, 1) = p_{0}

其中 $p_{0} \in M$ 是一个固定点。设 $E π M$ 是 $M$ 上的纤维丛，并考虑拉回丛 $h_{0}^{*} E$ 与 $h_{1}^{*} E$ ，其中 $h_{t} (p) \equiv F (p, t)$ 。纤维丛 $h_{1}^{*} E$ 是纤维丛 ${p_{0}} \times F$ 的拉回，因而是一个平凡丛： $h_{1}^{*} E ≃ M \times F$ 。然而，由于 $h_{0}$ 是恒等映射，故有 $h_{0}^{*} E = E$ 。根据定理 9.1， $h_{0}^{*} E = E$ 与 $h_{1}^{*} E = M \times F$ 等价，因此 $E$ 是平凡丛。例如，切丛 $T R^{m}$ 就是平凡的。由此得到如下推论。

推论 9.1

设 $E π M$ 为纤维丛。若 $M$ 可缩为一点，则 $E$ 是平凡丛。

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9.2.1 定义

9.2.2 纤维丛的重构

9.2.3 丛映射

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