14 玻色弦理论

本章研究玻色弦理论的单圈振幅。我们以最简单的例子为例：26 维欧氏空间中的闭定向玻色弦。¹ 其作用量为Polyakov 作用量

$$S=\frac{1}{2\pi }{\int }_{{\Sigma }_g}{\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }{\gamma }^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu }-\frac{\lambda }{4\pi }{\int }_{{\Sigma }_g}{\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }\mathcal{R}\text{\hspace{1em}(14.1)}$$

其中 ${\Sigma }_g$ 是亏格为 $g$ 的黎曼面。第二项正比于欧拉示性数 $\chi =2-2g$，因而决定了各多圈振幅之间的相对比例；$g$ 圈振幅正比于 $\exp (-\lambda g)$。我们并未显式写出可能的抵消项。

在接下来的几节中，我们将建立玻色弦的路径积分形式。我们首先发展所需的数学工具，即黎曼面上的微分几何。然后写出真空振幅的路径积分表达式。作为例子，我们计算单圈真空振幅。我们的论述基于 D’Hoker 与 Phong（1986）、Polchinski（1986）以及 Moore 与 Nelson（1986）。关于这些课题有许多综述，例如 Alvarez-Gaume 与 Nelson（1986）、Bagger（1987）、D’Hoker 与 Phong（1988）以及 Weinberg（1988）。

尾注

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Footnotes

1. 采用 $D=26$ 的理由将在14.2 节中说明。 ↩