7.11 玻色弦理论

量子场论（QFT）有时被称为粒子物理，因为它研究的是粒子的动力学。就典型能量远小于普朗克能量（$\sim 10^{19}\mathrm{GeV}$）的高能过程而言，这种观点并无不妥。然而，一旦我们试图在这一框架内量子化引力，就会遇到一道无法逾越的障碍。我们不知道如何重整化引力量子场论中无处不在的紫外发散。20 世纪 80 年代初，物理学家试图通过引入超对称来构造一个自洽的引力理论。尽管有所改善，由此得到的超引力仍不能完全驯服紫外行为。

20 世纪 60 年代末和 70 年代初，人们曾把对偶共振模型作为强子模型的候选者而广泛研究。在这一模型中，粒子被替换为一维的物体，称为弦(string)。不幸的是，人们发现该理论含有快子（虚质量粒子）和自旋2粒子，而且它只在 26 维时空中才是自洽的！由于这些困难，该理论被放弃，并由量子色动力学（QCD）取而代之。然而，少数人注意到该理论必定包含引力子，他们认为它可以作为量子引力理论的候选者。

如今，超对称已被纳入弦理论之中，从而构成超弦理论；这种理论不含快子，并且在十维时空中是自洽的。目前已有若干种自洽的超弦理论候选者。有人提出，完全的数学自洽性终将挑出一个唯一的万有理论（TOE）。

在本书的最后一章中，我们将研究玻色弦理论的基本内容，同时也会研究一些与超弦有关的数学工具。经典的综述可参见 Scherk（1975）。更多的参考文献见第 14 章。

7.11.1 弦的作用量

粒子在 $D$ 维闵可夫斯基仿射时空中的轨迹由 $D$ 个函数 $X^{\mu }(\tau )$（$1\le \mu \le D$）给出，其中 $\tau$ 是轨迹的参数。弦是一维客体，其位形由两个参数 $(\sigma ,\tau )$ 描述，其中 $\sigma$ 为类空的，$\tau$ 为类时的。弦在 $D$ 维闵可夫斯基仿射时空中的位置由 $X^{\mu }(\sigma ,\tau )$ 给出，如图 7.9所示。参数 $\sigma$ 可以归一化为 $\sigma \in [0,\pi ]$。弦可以是开弦，也可以是闭弦。下面我们来寻找支配弦动力学的作用量。

图 7.9. 开弦 $(a)$ 与闭弦 $(b)$ 的轨迹。图中还画出了在固定参数 ${\tau }_0$ 处轨迹的截面。

首先注意到，相对论粒子的作用量就是世界线的长度，

$$S\equiv m{\int }_{s_{\mathrm{i}}}^{s_{\mathrm{f}}}\mathrm{d}s=m{\int }_{{\tau }_{\mathrm{i}}}^{{\tau }_{\mathrm{f}}}\mathrm{d}\tau (-{\dot{X}}^{\mu }{\dot{X}}_{\mu }{)}^{1/2}\text{\hspace{1em}(7.230)}$$

其中 ${\dot{X}}^{\mu }\equiv \mathrm{d}{X}^{\mu }/\mathrm{d}\tau$。出于某些目的，取另一个表达式更为方便，

$$S=-\frac{1}{2}\int \mathrm{d}\tau \sqrt{g}\left(g^{-1}{\dot{X}}^{\mu }{\dot{X}}_{\mu }-m^2\right)\text{\hspace{1em}(7.231)}$$

其中辅助变量 $g\equiv g_{\tau \tau }$ 被看作一个度量。

练习 7.26

写出由 (7.231) 导出的欧拉–拉格朗日方程。利用运动方程从 (7.231) 中消去 $g$，以重新得到 (7.230)。

(7.231) 相对于 (7.230) 有什么优点？我们首先注意到，即使 $m^2=0$，(7.231) 也仍然有意义，而 (7.230) 在这种情况下会消失。其次，(7.231) 关于 $X$ 是二次的，而 (7.230) 对 $X$ 的依赖则相当复杂。

南部（Nambu，1970）提出了一个描述弦的作用量，它正比于世界面的面积，即弦的轨迹所张成的曲面。显然，这是对粒子世界线长度的推广。他提出了南部作用量，

$$S=-\frac{1}{2\pi {\alpha }^{\prime }}{\int }_0^{\pi }d\sigma {\int }_{{\tau }_{\mathrm{i}}}^{{\tau }_{\mathrm{f}}}d\tau [-\det ({\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu }){]}^{1/2}\text{\hspace{1em}(7.232)}$$

其中 ${\xi }^0=\tau ,{\xi }^1=\sigma$，且 ${\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }\equiv \partial X^{\mu }/\partial {\xi }^{\alpha }$。参数 ${\tau }_{\mathrm{i}}({\tau }_{\mathrm{f}})$ 是参数 $\tau$ 的初值（终值），而 ${\alpha }^{\prime }$ 是对应于弦张力倒数的参数（即雷吉斜率）。

练习 7.27

要求作用量 $S$ 无量纲。我们取 $\sigma$ 与 $\tau$ 为无量纲量。证明 ${\alpha }^{\prime }$ 的量纲为 $[\mathrm{length}{]}^2$。

尽管这一作用量给出了漂亮的几何图像，但它关于 $X$ 并非二次的，而且事实证明该理论的量子化相当困难。下面我们寻找一个更易于量子化的等价作用量。做法与质点情形类似。弦的二次作用量称为波利亚科夫作用量（Polyakov 1981），其形式为

$$S=-\frac{1}{4\pi {\alpha }^{\prime }}{\int }_0^{\pi }d\sigma {\int }_{{\tau }_i}^{{\tau }_f}d\tau \sqrt{-g}{g}^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu }\text{\hspace{1em}(7.233)}$$

其中 $g=\det g_{\alpha \beta }$，$g^{\alpha \beta }=(g^{-1}{)}^{\alpha \beta }$。若弦是开弦，其轨迹是一张面；若弦是闭弦，其轨迹则是一根管，如图 7.9所示。这里证明了，消去 $g$ 之后，作用量 (7.233) 与 (7.232) 一致。不过应当注意，这一点只对拉格朗日量成立。并不能保证它在量子层面仍然成立。已经证明，基于这两个拉格朗日量的量子理论只有在 $D=26$ 时才彼此一致。作用量 (7.233) 在下列变换下不变：

(i) 世界面的局部重参数化

$$\tau \to {\tau }^{\prime }(\tau ,\sigma )\sigma \to {\sigma }^{\prime }(\tau ,\sigma )\text{\hspace{1em}(7.234a)}$$

(ii) 外尔重标度

$$g_{\alpha \beta }\to g_{\alpha \beta }^{\prime }\equiv {\mathrm{e}}^{\varphi (\sigma ,\tau )}{g}_{\alpha \beta }\text{\hspace{1em}(7.234b)}$$

(iii) 整体庞加莱不变性

$$X^{\mu }\to X^{{\mu }^{\prime }}\equiv {\Lambda }_v^{\mu }{X}^v+a^{\mu }\Lambda \in \mathrm{SO}(D-1,1)a\in {\mathbb{R}}^D.\text{\hspace{1em}(7.234c)}$$

这些对称性将在后面详细讨论。

练习 7.28

利用对称性 (i) 与 (iii)，总可以把 $g_{\alpha \beta }$ 选成 $g_{\alpha \beta }={\eta }_{\alpha \beta }$ 的形式。写出 $X^{\mu }$ 的运动方程，以证明它满足方程

$${\eta }^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{\partial }_{\beta }{X}^{\mu }=0.\text{\hspace{1em}(7.235)}$$

7.11.2 波利亚科夫弦的对称性

玻色弦理论(bosonic string theory)定义在二维洛伦兹流形 $(M,g)$ 上。$f:M\to {\mathbb{R}}^D$ 这一嵌入由 ${\xi }^{\alpha }\mapsto X^{\mu }$ 给出，其中 $\{{\xi }^{\alpha }\}=(\tau ,\sigma )$ 是 $M$ 的局部坐标。为简单起见，我们假定物理时空是闵可夫斯基的 $({\mathbb{R}}^D,\eta )$。波利亚科夫作用量

$$S=-\frac{1}{2}\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{-g}{g}^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}^{\nu }{\eta }_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(7.236)}$$

在坐标重参数化 $\mathrm{Diff}(M)$ 下保持不变，因为体积元 $\sqrt{-g}{\mathrm{d}}^2\xi$ 不变，而 $g^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu }$ 是一个标量。

现在我们可以导出运动方程了。我们的变分参量是嵌入 $X^{\mu }$ 与几何 $g_{\alpha \beta }$。在变分 $\delta X^{\mu }$ 下，我们得到欧拉–拉格朗日方程

$${\partial }_{\alpha }(\sqrt{-g}{g}^{\alpha \beta }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu })=0.\text{\hspace{1em}(7.237a)}$$

在变分 $\delta g_{\alpha \beta }$ 下，$S$ 的被积函数变为

$$\begin{array}{rl}& \delta (\sqrt{-g}{g}^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu })=\delta \sqrt{-g}{g}^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu }+\sqrt{-g}\delta g^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu }\\ & =-\frac{1}{2}\sqrt{-g}{g}_{\gamma \delta }\delta g^{\gamma \delta }{g}^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu }\\ & +\sqrt{-g}\delta g^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu }\end{array}$$

这里用到了命题 7.2。由于这一结果对任意变分 $\delta g_{\alpha \beta }$ 都应消失，我们应当有

$$T_{\alpha \beta }={\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu }-\frac{1}{2}{g}_{\alpha \beta }(g^{\gamma \delta }{\partial }_{\gamma }{X}^{\mu }{\partial }_{\delta }{X}_{\mu })=0.(7.237\mathrm{b})$$

由此解出 $g_{\alpha \beta }$，得到

$$g_{\alpha \beta }={\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}^{\nu }{\eta }_{\mu \nu }\text{\hspace{1em}(7.238)}$$

这表明诱导度量（即右端）与 $g_{\alpha \beta }$ 一致。将(7.238)代入(7.236)以消去 $g_{\alpha \beta }$，我们就重新得到了南部作用量，

$$S=-\frac{1}{2}\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{-\det \left({\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu }\right)}.\text{\hspace{1em}(7.239)}$$

由构造可知，作用量 $S$ 在 $M$ 的局部重参数化 $\{{\xi }^{\alpha }\}\to \{{\xi }^{\prime \alpha }(\xi )\}$ 下不变。除此之外，该作用量还具有额外的对称性。在 $D$ 维时空中的整体庞加莱变换下，

$$X^{\mu }\to X^{\prime \mu }\equiv {\Lambda }_v^{\mu }{X}^v+a^{\mu }\text{\hspace{1em}(7.240)}$$

作用量 $S$ 的变换为

$$\begin{array}{rl}& S\to -\frac{1}{2}\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{-g}{g}^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }\left({\Lambda }_{\kappa }^{\mu }{X}^{\kappa }+a^{\mu }\right){\partial }_{\beta }\left({\Lambda }_{\lambda }^{\nu }{X}^{\lambda }+a^{\nu }\right){\eta }_{\mu \nu }\\ & =-\frac{1}{2}\int d^2\xi \sqrt{-g}{g}^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\kappa }{\partial }_{\beta }{X}^{\lambda }\left({\Lambda }_{\kappa }^{\mu }{\Lambda }_{\lambda }^{\nu }{\eta }_{\mu \nu }\right).\end{array}$$

由 ${\Lambda }_{\kappa }^{\mu }{\Lambda }_{\lambda }^{\nu }{\eta }_{\mu \nu }={\eta }_{\kappa \lambda }$ 可知，$S$ 在整体庞加莱变换下不变。作用量 $S$ 在外尔重标度(Weyl rescaling)下也不变，即 $g_{\alpha \beta }(\tau ,\sigma )\to {\mathrm{e}}^{2\sigma (\tau ,\sigma )}{g}_{\alpha ,\beta }(\tau ,\sigma )$ 而保持 $(\tau ,\sigma )$ 不变。事实上，$S$ 的变换为

$$S\to -\frac{1}{2}\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{-{\mathrm{e}}^{4\sigma }g}{\mathrm{e}}^{-2\sigma }{g}^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}^{\nu }{\eta }_{\mu \nu }$$

因而保持不变。注意，外尔重标度不变性只在 $M$ 为二维时才存在，这使得弦在膜等其他延展物体中显得格外突出。

由于 $\dim M=2$，我们总可以用等温坐标（例 7.9）来参数化世界面，使得

$$g_{\alpha \beta }={\mathrm{e}}^{2\sigma (\tau ,\sigma )}{\eta }_{\alpha \beta }.\text{\hspace{1em}(7.241)}$$

于是，外尔重标度不变性使我们可以在世界面上选取标准度量 ${\eta }_{\alpha \beta }$。度量 $g_{\alpha \beta }$ 有三个独立分量，而重参数化有两个自由度，外尔标度不变性有一个自由度。因此，只要处理的是弦，我们就可以选取标准度量 ${\eta }_{\alpha \beta }$。

我们对波利亚科夫弦的分析到此结束。波利亚科夫弦将在第 14 章中以最优雅的方式量子化。

练习 7.29

设 $(M,g)$ 与 $(N,h)$ 为黎曼流形。取 $M$ 的一个坐标卡 $U$，在其中度量 $g$ 具有如下形式

$$g=g_{\mu \nu }(x)d{x}^{\mu }\otimes d{x}^{\nu }.$$

再取 $N$ 的一个坐标卡 $V$，在其中 $h$ 具有如下形式

$$h=G_{\alpha \beta }(\varphi )\mathrm{d}{\varphi }^{\alpha }\otimes \mathrm{d}{\varphi }^{\beta }.$$

由 $x\mapsto \varphi (x)$ 定义的映射 $\varphi :M\to N$ 若满足下式，则称为调和映射(harmonic map)

$$\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_{\mu }\left[\sqrt{g}{g}^{\mu v}{\partial }_v{\varphi }^{\alpha }\right]+{\Gamma }_{\beta \gamma }^{\alpha }{\partial }_{\mu }{\varphi }^{\alpha }{\partial }_v{\varphi }^{\beta }{g}^{\mu v}=0.\text{\hspace{1em}(7.242)}$$

证明该方程可由对作用量

$$S\equiv \frac{1}{2}\int {\mathrm{d}}^{m}x\sqrt{g}{g}^{\mu v}{\partial }_{\mu }{\varphi }^{\alpha }{\partial }_v{\varphi }^{\beta }{h}_{\alpha \beta }(\varphi )\text{\hspace{1em}(7.243)}$$

关于 $\varphi$ 作变分而得到。调和映射在物理学中的应用可见 Misner (1978) 与 Sánchez (1988)。其数学方面的综述见 Eells 与 Lemaire (1968)。

7.1 设 $\nabla$ 为一个一般联络，其挠率张量不为零。证明第一比安基恒等式变为

$$\mathfrak{S}\{R(X,Y)Z\}=\mathfrak{S}\{T(X,[Y,Z])\}+\mathfrak{S}\{{\nabla }_X[T(Y,Z)]\}$$

其中 $\mathfrak{S}$ 是定理 7.2中定义的对称化算子。再证明第二比安基恒等式由下式给出

$$\mathfrak{S}\{({\nabla }_{X}R)(Y,Z)\}V=\mathfrak{S}\{R(X,T(Y,Z))\}V$$

其中 $\mathfrak{S}$ 只对 $X,Y$ 和 $Z$ 作对称化。

7.2 设 $(M,g)$ 是一个共形平坦的三维流形。证明由下式定义的外尔-舒滕张量

$$C_{\lambda \mu \nu }\equiv {\nabla }_{\nu }Ri{c}_{\lambda \mu }-{\nabla }_{\mu }Ri{c}_{\lambda \nu }-\frac{1}{4}(g_{\lambda \mu }{\partial }_{\nu }\mathcal{R}-g_{\lambda \nu }{\partial }_{\mu }\mathcal{R})$$

为零。已知当 $\dim M=3$ 时，$C_{\lambda \mu \nu }=0$ 是共形平坦性的充要条件。

7.3 考虑一个度量

$$g=-\mathrm{d}t\otimes \mathrm{d}t+\mathrm{d}r\otimes \mathrm{d}r+(1-4{\mu }^2)r^2\mathrm{d}\varphi \otimes \mathrm{d}\varphi +\mathrm{d}z\otimes \mathrm{d}z$$

其中 $0<\mu <1/2$ 且 $\mu \ne 1/4$。引入新变量

$$\tilde{\varphi }\equiv (1-4\mu )\varphi$$

并证明度量 $g$ 约化为闵可夫斯基度量。这是否意味着 $g$ 描述的是闵可夫斯基仿射时空？计算黎曼曲率张量，并证明在 $r=0$ 处存在一个弦状奇点。这个奇点是锥形的（除沿该直线外，时空是平坦的）。该度量刻画了宇宙弦的时空。

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