14.2 玻色弦的量子理论

现在我们可以介绍Polyakov 的玻色弦表述了，它以对几何的路径积分为基础。由于弦作用量含有巨大的对称性，我们必须特别注意把独立的几何各计数一次且仅计数一次。这可以借助Faddeev-Popov 技巧来实现。我们的讨论将限于最简单的情形，即闭可定向玻色弦；该理论定义在黎曼面上。

14.2.1 Polyakov 弦的真空振幅

按照路径积分表述的一般规则，弦理论的配分函数（即真空到真空的振幅）由下式给出

$$Z=\sum _{g=0}^{\infty }{Z}_g=\sum _{g=0}^{\infty }\int \mathcal{D}X\mathcal{D}\gamma {\mathrm{e}}^{-S[X,\gamma ]}\text{\hspace{1em}(14.30)}$$

如图 14.1所示。为避免混淆，我们用 $g$ 表示亏格(genus)，用 $\gamma$ 表示度量。对亏格的求和相当于对拓扑的求和。$Z_g$ 是 $g$ 圈振幅，由对所有度量 $\gamma$ 和所有嵌入 $X$ 积分得到。我们将在后面看到，测度 $\mathcal{D}X\mathcal{D}\gamma$ 并没有良好的定义，需要作一些修改。弦作用量 $S[X,\gamma ]$ 取为

图 14.1. 总的真空振幅由对 $g$ 圈振幅求和给出。

$$S[X,\gamma ]\equiv \frac{1}{2}\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }{\gamma }^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }{X}^{\mu }{\partial }_{\beta }{X}_{\mu }+\frac{\lambda }{4\pi }\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }\mathcal{R}.\text{\hspace{1em}(14.31)}$$

第一项是Polyakov 作用量。第二项正比于欧拉示性数

$$\chi =\frac{1}{4\pi }\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }\mathcal{R}=2-2g$$

它起着弦耦合常数(string coupling constant)的作用；亏格为 $g$ 的圈图振幅被因子 ${\mathrm{e}}^{-2\lambda g}$ 压低。由于这一项是拓扑不变量，它不影响弦的动力学。我们关心的是亏格 $g$ 固定的黎曼面，因此略去这一项。作用量的第一项具有如下对称性（7.11 节）：

(A) $\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)$，即微分同胚 $f:{\Sigma }_g\to {\Sigma }_g$ 构成的群。设 ${\xi }^{\alpha }\to {\xi }^{\prime \alpha }(\xi )$ 是 $f$ 的坐标表达式。新度量是旧度量的拉回，其坐标分量表达式为

$${\gamma }_{\alpha \beta }\to f^{\ast }{\gamma }_{\alpha \beta }=\frac{\partial {\xi }^{\gamma }}{\partial {\xi }^{\prime \alpha }}\frac{\partial {\xi }^{\delta }}{\partial {\xi }^{\prime \beta }}{\gamma }_{\gamma \delta }.\text{\hspace{1em}(14.32)}$$

嵌入也作如下变换：

$$X^{\mu }\to f^{\ast }{X}^{\mu }=X^{\mu }f.\text{\hspace{1em}(14.33)}$$

经典作用量的不变性表现为

$$S[X,\gamma ]=S[f^{\ast }X,f^{\ast }\gamma ].\text{\hspace{1em}(14.34)}$$

(B) Weyl $({\Sigma }_g)$，即二维 Weyl 重标度构成的群

$${\gamma }_{\alpha \beta }\to {\hat{\gamma }}_{\alpha \beta }\equiv {\mathrm{e}}^{\varphi }{\gamma }_{\alpha \beta }\text{\hspace{1em}(14.35)}$$

其中 $\varphi \in \mathcal{F}({\Sigma }_g)$。$S$ 的共形不变性表现为

$$S[X,\gamma ]=S[X,\hat{\gamma }].\text{\hspace{1em}(14.36)}$$

对称性 (A) 与 (B) 必须在量子化之后仍然保持，否则该理论就带有反常。

按照标准的法捷耶夫-波波夫形式，在定义 $Z_g$ 时必须把这些对称性所对应的自由度去掉。例如，由 $(X_1,{\gamma }_1)$ 与 $(X_2,{\gamma }_2)$ 所指定的弦几何，若二者由 $\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)$ 中的某个元素相联系，就不应被独立地计数。同样，$(X,\gamma )$ 与 $(X,{\mathrm{e}}^{\varphi }\gamma )$ 也不应被当作彼此独立的位形。除非特别加以注意，我们就会把同一组位形重复计数无穷多次，从而导致灾难性的发散。事实上，所有几何 $(X,\gamma )$ 构成的空间可以划分成若干等价类（即规范切片(gauge slice)），其中任意两点都不能由这些对称性相联系，如图 14.2所示。

图 14.2. $\mathcal{E}\times {\mathcal{M}}_g$ 中的元素由 $\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)\ast \mathrm{Weyl}({\Sigma }_g)$ 作用于规范切片中的元素 $(X,\gamma )$ 而得到。

更数学地说，设 $\mathcal{E}$ 为所有嵌入 $X:{\Sigma }_g\to {\mathbb{R}}^D$ 构成的空间，${\mathcal{M}}_g$ 为定义在 ${\Sigma }_g$ 上的所有度量构成的空间。粗略地说，路径积分是在 $\mathcal{E}\times {\mathcal{M}}_g$ 上定义的。然而由于对称性 (A) 与 (B)，积分应限制在商空间 $(\mathcal{E}\times {\mathcal{M}}_g)/G$ 上，其中 $G=\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)\ast \mathrm{Weyl}({\Sigma }_g)$ 是规范群。$(f,{\mathrm{e}}^{\varphi })$ 对 $(X,\gamma )\in \mathcal{E}\times {\mathcal{M}}_g$ 的作用为

$$(f,{\mathrm{e}}^{\varphi })(X,\gamma )=\left(f^{\ast }X,{\mathrm{e}}^{\varphi }{f}^{\ast }\gamma \right).\text{\hspace{1em}(14.37)}$$

商空间 ${\mathcal{M}}_g/G$ 称为 ${\Sigma }_g$ 的模空间(moduli space)，记作 $\mathrm{Mod}({\Sigma }_g)$。我们还关心 $\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)$ 的子群 ${\mathrm{Diff}}_0({\Sigma }_g)$，它

是恒等映射的连通分支。商空间 $\mathrm{Teich}({\Sigma }_g)\equiv {\mathcal{M}}_g/{\mathrm{Diff}}_0({\Sigma }_g)\ast \mathrm{Weyl}({\Sigma }_g)$ 称为 ${\Sigma }_g$ 的泰希米勒空间(Teichmüller space)。关于黎曼面的一般理论表明，$\mathrm{Teich}({\Sigma }_g)$ 是 $\mathrm{Mod}({\Sigma }_g)$ 的有限维万有覆叠空间。具体地，有

$${\dim }_{\mathbb{R}}\mathrm{Teich}\left({\Sigma }_{\mathrm{g}}\right)=\{\begin{array}{ll}0& g=0\\ 2& g=1\\ 6g-6& g\ge 2.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.38)}$$

群 $\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)/{\mathrm{Diff}}_0({\Sigma }_g)$ 称为模群(modular group)（MG），或映射类群(mapping class group)（MCG）。MCG 由如例 8.2中所定义的德恩扭转生成。对于亏格为 $g$ 的环面，MCG 由绕 $a_i,b_i$ 与 $c_i$ 的 $3g-1$ 个德恩扭转生成，如图 14.3所示。遗憾的是，这 $3g-1$ 个德恩扭转并不是生成元的最小集合。对于 $g\ge 2$ 的情形，MCG 的一般形式尚不清楚。

图 14.3. 映射类群（MCG）由绕 $a_i,b_i$ 与 $c_i$ 的德恩扭转生成（$1\le i\le g$）。

由这些论证可知，有意义的配分函数为

$$Z_{\mathrm{g}}\equiv {\int }_{\mathcal{E}\times {\mathcal{M}}_g}\frac{\mathcal{D}X\mathcal{D}\gamma }{V(\mathrm{Diff}\ast \mathrm{Weyl})}{\mathrm{e}}^{-S[X,\gamma ]}\text{\hspace{1em}(14.39)}$$

其中 $V(\mathrm{Diff}\ast \mathrm{Weyl})$ 是 $\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)\ast \mathrm{Weyl}({\Sigma }_g)$ 空间的（无限）体积，它处理了对同一几何的无限重复计数。MCG 的阶（元素个数）记作 $|\mathrm{MCG}|$。显然，

$$V(\text{微分}\ast \text{外尔})=|\text{M C G}|V({\text{微分}}_0\ast \text{外尔}).\text{\hspace{1em}(14.40)}$$

14.2.2 积分测度

我们必须定义一个合理的测度来进行(14.39)中的积分，从而把物理自由度与规范自由度分离开来。这种自由度的分离需要用到雅可比行列式，

$$\mathcal{D}\gamma \mathcal{D}X\to J(\mathcal{D}\text{物理})(\mathcal{D}\text{规范}).\text{\hspace{1em}(14.41)}$$

为求出这个雅可比行列式，我们注意到：流形 $M$ 上的雅可比行列式与 $TM$ 上的雅可比行列式相同。为说明这一点，设 $x^{\mu }(y^{\mu })$ 是 $M$ 的某个坐标卡 $U(V)$ 中的坐标，且 $U\cap V\ne \varnothing$。坐标变换的雅可比行列式为 $J=\det (\partial y^{\mu }/\partial x^{\nu })$。取 $V\in T_{p}M$。写成分量形式，我们有 $V=u^{\mu }\partial /\partial x^{\mu }=v^{\mu }\partial /\partial y^{\mu }$，其中

$$v^{\mu }=u^v\left(\partial y^{\mu }/\partial x^v\right).\text{\hspace{1em}(14.42)}$$

$\{u^{\mu }\}$ 与 $\{v^{\mu }\}$ 是 $T_{p}M$ 的纤维坐标。与此坐标变换相联系的雅可比行列式 $\hat{J}$ 为

$$\hat{J}=\det \left(\partial v^{\mu }/\partial u^v\right)=\det \left(\partial y^{\mu }/\partial x^v\right)=J.\text{\hspace{1em}(14.43)}$$

这表明 $p\in M$ 处的雅可比行列式与 $T_{p}M$ 上的雅可比行列式相同。雅可比行列式 $\hat{J}$ 依赖于 $p$，但与向量本身无关，因为 $J$ 只依赖于 $p$。

例 14.2

设 $(x,y)$ 与 $(r,\theta )$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 的坐标，其中 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$。坐标变换的雅可比行列式为

$$J=\det \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=r.$$

我们取

$$V=v_x\partial /\partial x+v_y\partial /\partial y=v_r\partial /\partial r+v_{\theta }\partial /\partial \theta \in T_p{R}^2.$$

$(v_x,v_y)$ 与 $(v_r,v_{\theta })$ 充当 $T_p{\mathbb{R}}^2$ 的纤维坐标。由于

$$v_x=v_r\partial x/\partial r+v_{\theta }\partial x/\partial \theta v_y=v_r\partial y/\partial r+v_{\theta }\partial y/\partial \theta$$

相应的雅可比行列式 $\hat{J}$ 容易算出为

$$\hat{J}=\det [\partial (v_x,v_y)/\partial (v_r,v_{\theta })]=\left|\begin{array}{cc}\partial x/\partial r& \partial x/\partial \theta \\ \partial y/\partial r& \partial y/\partial \theta \end{array}\right|=J.$$

下面我们以一种间接却富有启发性的方式导出这个雅可比行列式。我们把测度 ${\mathrm{d}}^{2}v$ 归一化为

$$1=\int d^{2}v\exp \left(-\frac{1}{2}\Vert v{\Vert }^2\right)=\int d{v}_{x}d{v}_y\exp \left[-\frac{1}{2}\left(v_x^2+v_y^2\right)\right].$$

我们还有 $\Vert v^2{\Vert }^2=v_r^2+r^2{v}_{\theta }^2$。注意到雅可比行列式与 $v_r$ 和 $v_{\theta }$ 无关，于是有

$$1=J\int \mathrm{d}{v}_r\mathrm{d}{v}_{\theta }\exp \left[-\frac{1}{2}\left(v_r^2+r^2{v}_{\theta }^2\right)\right]=J{r}^{-1}$$

4 这种测度归一化与通常的归一化相差一个常数因子。

由此得到 $J=r$。我们将用这一方法来求弦论的泛函测度。

这一分析使我们能够写出

$$\mathcal{D}\delta \gamma \mathcal{D}\delta X=J\mathcal{D}\delta (\text{物理})\mathcal{D}\delta (\text{规范})\text{\hspace{1em}(14.44)}$$

其中 $\delta \gamma$（$\delta X$）是度量 $\gamma$（嵌入 $X$）的一个小变分，并被看作 $T_{\gamma }({\mathcal{M}}_g)$（$T_X\mathcal{E}$）中的元素。右端的含义稍后就会清楚。

考虑由 ${\Sigma }_g$ 上的无穷小向量场 $\delta v$ 生成的微分同胚。由于 $\delta v$ 是无穷小的，它属于 ${\mathrm{Diff}}_0({\Sigma }_g)$ 而不属于完整的群 $\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)$。在 $\delta v$ 作用下，度量与嵌入的变化为（见(7.120)）

$${\delta }_{\mathrm{D}}{\gamma }_{\alpha \beta }={\left({\mathcal{L}}_{\delta v}\gamma \right)}_{\alpha \beta }={\nabla }_{\alpha }\delta v_{\beta }+{\nabla }_{\beta }\delta v_{\alpha }{\delta }_{\mathrm{D}}X=\delta v^{\alpha }{\partial }_{\alpha }X.\text{\hspace{1em}(14.45)}$$

在无穷小 Weyl 重标度 ${\mathrm{e}}^{\delta \varphi }$ 下，$\gamma$ 与 $X$ 的变化为

$${\delta }_{\mathrm{W}}{\gamma }_{\alpha \beta }=\delta \varphi {\gamma }_{\alpha \beta }{\delta }_{\mathrm{W}}X=0.\text{\hspace{1em}(14.46)}$$

这些变化属于非物理的（规范）自由度。一般地，度量的小变化可写成

$$\begin{array}{rl}\delta {\gamma }_{\alpha \beta }& ={\delta }_{\mathrm{W}}{\gamma }_{\alpha \beta }+{\delta }_{\mathrm{D}}{\gamma }_{\alpha \beta }+(\text{物理变化})\\ & =\delta \varphi {\gamma }_{\alpha \beta }+{\nabla }_{\alpha }\delta v_{\beta }+{\nabla }_{\beta }\delta v_{\alpha }+\delta t^i\frac{\partial }{\partial t^i}{\gamma }_{\alpha \beta }(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(14.47)}$$

其中最后一项称为度量的泰希米勒形变(Teichmüller deformation of the metric)，它既不能用微分同胚描述，也不能用 Weyl 重标度描述。如前所述，$\{i\}$ 是有限集，$1\le i\le n={\dim }_{\mathbb{R}}\mathrm{Teich}({\Sigma }_g)$。为便于后文，把 $\delta \gamma$ 分成无迹部分与迹非零的部分是方便的。我们写出

$$\delta {\gamma }_{\alpha \beta }=\delta \bar{\varphi }{\gamma }_{\alpha \beta }+(P_1\delta v{)}_{\alpha \beta }+\delta t^i{T}_{i\alpha \beta }(t)\text{\hspace{1em}(14.48)}$$

其中 $T_{i\alpha \beta }$ 是泰希米勒形变的无迹部分，

$$T_{i\alpha \beta }\equiv \frac{\partial {\gamma }_{\alpha \beta }}{\partial t^i}-\frac{1}{2}{\gamma }_{\alpha \beta }{\gamma }^{\gamma \delta }\frac{\partial {\gamma }_{\gamma \delta }}{\partial t^i}.\text{\hspace{1em}(14.49)}$$

算子 $P_1$ 定义为

$${\left(P_1\delta v\right)}_{\alpha \beta }\equiv {\nabla }_{\alpha }\delta v_{\beta }+{\nabla }_{\beta }\delta v_{\alpha }-{\gamma }_{\alpha \beta }\left({\nabla }_{\gamma }\delta v_{\gamma }\right)\text{\hspace{1em}(14.50)}$$

它取出 ${\delta }_{\mathrm{D}}{\gamma }_{\alpha \beta }$ 的无迹部分，而 $\delta \bar{\varphi }$ 定义为

$$\delta \bar{\varphi }=\delta \varphi +\left({\nabla }_{\gamma }\delta v^{\gamma }+\mathrm{trace}\mathrm{part}\delta t\frac{\partial \gamma }{\partial t}\right)\text{\hspace{1em}(14.51)}$$

其中我们不需要括号内的显式形式。

至于嵌入，我们考虑商 $\mathcal{E}/\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)$。任意嵌入 $X$ 都可由 $\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)$ 作用于某个 $\tilde{X}\in \mathcal{E}/\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)$ 得到。于是嵌入的小变化可表示为

$$\delta X=\delta v^{\alpha }{\partial }_{\alpha }\tilde{X}+\delta \tilde{X}\text{\hspace{1em}(14.52)}$$

其中第一项表示由 $\delta v$ 生成的 $X$ 的变化，而第二项与微分同胚无关。现在测度应当形如

$$\mathcal{D}\delta \gamma \mathcal{D}\delta X=J{\mathrm{d}}^{n}t\mathcal{D}\delta v\mathcal{D}\delta \varphi \mathcal{D}\delta \tilde{X}.\text{\hspace{1em}(14.53)}$$

为了定义测度，我们需要在切空间上指定一个度量，见例 14.2。我们只限于所谓的超局部度量，它是二次的，依赖于 ${\gamma }_{\alpha \beta }$ 而不依赖于 $\partial {\gamma }_{\alpha \beta }$。对对称二阶张量定义度量为

$$\Vert \delta h{\Vert }_{\gamma }^2=\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }\left(G^{\alpha \beta \gamma \delta }+u{\gamma }^{\alpha \beta }{\gamma }^{\gamma \delta }\right)\delta h_{\alpha \beta }\delta h_{\gamma \delta }\text{\hspace{1em}(14.54a)}$$

其中 $u>0$ 是任意常数，并且

$$G^{\alpha \beta \gamma \delta }\equiv {\gamma }^{\alpha \gamma }{\gamma }^{\beta \delta }+{\gamma }^{\alpha \delta }{\gamma }^{\beta \gamma }-{\gamma }^{\alpha \beta }{\gamma }^{\gamma \delta }.\text{\hspace{1em}(14.55)}$$

容易验证，$G$ 是到无迹部分（tr $G^{\alpha \beta \gamma \delta }\delta h_{\gamma \delta }={\gamma }_{\alpha \beta }{G}^{\alpha \beta \gamma \delta }\delta h_{\gamma \delta }=0$）的投影算符，而 $u{\gamma }^{\alpha \beta }{\gamma }^{\gamma \delta }$ 则是到迹部分的投影算符。在有限维流形上，度量给出一个自然的体积元。但在目前的情形下，测度无法显式地定义，我们只能借助高斯积分隐式地定义它（见例 14.2），

$$\int \mathcal{D}\delta h\exp \left(-\frac{1}{2}||\delta h|{|}_{\gamma }^2\right)=1.\text{\hspace{1em}(14.56a)}$$

类似地，标量 $\delta \varphi$、向量 $\delta v$ 以及映射 $\delta X^{\mu }$ 的度量分别定义为

$${\Vert \delta \varphi \Vert }_{\gamma }^2=\int d^2\xi \sqrt{\gamma }\delta {\varphi }^2\text{\hspace{1em}(14.54b)}$$

$${\Vert \delta v\Vert }_{\gamma }^2=\int d^2\xi \sqrt{\gamma }{\gamma }_{\alpha \beta }\delta v^{\alpha }\delta v^{\beta }\text{\hspace{1em}(14.54c)}$$

$$\Vert \delta X{\Vert }_{\gamma }^2=\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }\delta X^{\mu }\delta X_{\mu }.\text{\hspace{1em}(14.54d)}$$

有了这些度量，测度便由下式定义：

$$\int \mathcal{D}\delta \varphi \exp \left(-\frac{1}{2}||\delta \varphi |{|}_{\gamma }^2\right)=1\text{\hspace{1em}(14.56b)}$$

$$\int \mathcal{D}\delta v\exp \left(-\frac{1}{2}||\delta v|{|}_{\gamma }^2\right)=1\text{\hspace{1em}(14.56c)}$$

$$\int \mathcal{D}\delta X\exp \left(-\frac{1}{2}||\delta X|{|}_{\gamma }^2\right)=1.\text{\hspace{1em}(14.56d)}$$

练习 14.3

证明 $\Vert \delta \gamma {\Vert }_{\gamma }^2$ 与 $\Vert \delta X{\Vert }_{\gamma }^2$ 在 $\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)$ 下不变，但在 Weyl $({\Sigma }_g)$ 下并不不变。这可能是共形反常的起源，见(14.84)。

在进一步讨论之前，我们需要澄清 ${\mathrm{Diff}}_0({\Sigma }_g)$ 与 $\mathrm{Weyl}({\Sigma }_g)$ 之间的交叠。设 $\delta v\in \ker P_1$，即

$$P_1\delta v={\nabla }_{\alpha }\delta v_{\beta }+{\nabla }_{\beta }\delta v_{\alpha }-{\gamma }_{\alpha \beta }({\nabla }_{\gamma }\delta v^{\gamma })=0.\text{\hspace{1em}(14.57)}$$

对于这样的 $\delta v$，我们得到 ${\delta }_{\mathrm{D}}{\gamma }_{\alpha \beta }=({\nabla }_{\gamma }\delta v^{\gamma }){\gamma }_{\alpha \beta }$。满足 $\delta v\in \ker P_1$ 的向量称为共形Killing向量(conformal Killing vector)（CKV），见7.7 节。需要注意的是，若取 $\delta \varphi$ 为 ${\nabla }_{\gamma }\delta v^{\gamma }$，则 ${\delta }_{\mathrm{D}}$ 与 ${\delta }_{\mathrm{W}}$ 给出相同的度规形变。因此，CKV 的集合与 ${\mathrm{Diff}}_0({\Sigma }_g)$ 和 Weyl(${\Sigma }_g$) 的交叠等同。设 ${\Sigma }_g$ 上有 $k$ 个独立的 CKV，记作 ${\Phi }_s^{\alpha }(1\le s\le k)$。由黎曼面理论可知

$$k=\{\begin{array}{ll}6& g=0\\ 2& g=1\\ 0& g\ge 2.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.58)}$$

我们将 $\delta v$ 分解为由 CKV 生成的部分及其正交补，并写成

$$\delta v^{\alpha }=\delta {\tilde{v}}^{\alpha }+\delta a^s{\Phi }_s^{\alpha }.\text{\hspace{1em}(14.59)}$$

切向量 $\delta X$ 也作相应的分解：

$$\delta X=\delta \tilde{X}+\delta {\tilde{v}}^{\alpha }{\partial }_{\alpha }{\tilde{X}}^{\mu }+\delta a^s{\Phi }_s^{\alpha }{\partial }_{\alpha }{\tilde{X}}^{\mu }.\text{\hspace{1em}(14.60)}$$

于是泛函测度变为

$$\mathcal{D}\delta \gamma \mathcal{D}\delta X\to J{\mathrm{d}}^n\delta t\mathcal{D}\delta \varphi \mathcal{D}\delta \tilde{v}{\mathrm{d}}^k\delta a\mathcal{D}\delta \tilde{X}\text{\hspace{1em}(14.61)}$$

这里我们注意到 $t$ 参数与 $a$ 参数都是有限维的。

设 ${\mathrm{Diff}}_0^{\perp }({\Sigma }_g)$ 为 ${\mathrm{Diff}}_0({\Sigma }_g)$ 中与 CKV 正交的子空间。我们有

$$V\left({\mathrm{Diff}}_0\right)=V\left({\mathrm{Diff}}_0^{\perp }\right)\cdot V(\mathrm{CKV})\text{\hspace{1em}(14.62)}$$

$$\begin{array}{rl}V\left({\mathrm{Diff}}_0\ast \mathrm{Weyl}\right)& =V\left({\mathrm{Diff}}_0^{\perp }\right)V(\mathrm{Weyl})\\ & =V\left({\text{微分同胚}}_0\right)V\left(\text{Weyl}\right)/V(\text{C K V}).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.63)}$$

取 ${\mathcal{M}}_g$ 的一个截面 $\hat{\gamma }(t)$。该截面由 $n$ 个泰希米勒参数参数化。任何通过 $G=\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)\ast \mathrm{Weyl}({\Sigma }_g)$ 与 $\hat{\gamma }$ 相联系的度规 $\tilde{\gamma }$ 都可写成

$$\tilde{\gamma }=f^{\ast }\left({\mathrm{e}}^{\varphi }\hat{\gamma }\right)f\in \mathrm{Diff}\left({\Sigma }_g\right),{\mathrm{e}}^{\varphi }\in \mathrm{Weyl}\left({\Sigma }_g\right).\text{\hspace{1em}(14.64)}$$

我们把 $\tilde{\gamma }$ 处的小形变 $\delta \tilde{\gamma }$ 表示为 $\gamma \equiv {\mathrm{e}}^{\delta \varphi }\hat{\gamma }$ 处形变 $\delta \gamma$ 的拉回：$\delta \tilde{\gamma }=f^{\ast }(\delta \gamma )$。注意 $\delta \gamma$ 是原点处的小微分同胚

它属于 ${\mathrm{Diff}}_0({\Sigma }_g)$，因而可用向量场 $\delta v$ 描述。如练习 14.3所示，$\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)$ 是相应向量空间上的等距变换。由此可得

$${\Vert \delta \tilde{\gamma }\Vert }_{\tilde{\gamma }}^2={\Vert f^{\ast }(\delta \gamma )\Vert }_{f^{\ast }\gamma }^2={\Vert \delta \gamma \Vert }_{\gamma }^2\gamma =e^{\varphi }\hat{\gamma }.\text{\hspace{1em}(14.65)}$$

在点 $\gamma$ 处，我们将 $\delta \gamma$ 分解为

$$\delta {\gamma }_{\alpha \beta }=\delta \varphi {\gamma }_{\alpha \beta }+{\left(P_1\delta \tilde{v}\right)}_{\alpha \beta }+\delta t^i{T}_{i\alpha \beta }\text{\hspace{1em}(14.66)}$$

其中 $\delta \varphi$ 已被重新定义，使其包含泰希米勒形变的迹部分以及 ${\nabla }_{\alpha }\delta v_{\beta }+{\nabla }_{\beta }\delta v_{\alpha }$，见(14.51)。

练习 14.4

证明：$\gamma$ 处的 $T_{i\alpha \beta }$ 与 $\hat{\gamma }$ 处的 ${\hat{T}}_{i\alpha \beta }$ 之间满足如下关系

$$T_{i\alpha \beta }={\mathrm{e}}^{\varphi }{\hat{T}}_{i\alpha \beta }.\text{\hspace{1em}(14.67)}$$

现在我们可以给出测度的显式形式了。先求出与变换 $\mathcal{D}\delta v\to \mathcal{D}\delta \tilde{v}{\mathrm{d}}^k\delta a$ 相应的雅可比行列式。我们有

$$\begin{array}{rl}1& =\int \mathcal{D}\delta v\exp \left(-\frac{1}{2}\Vert \delta v{\Vert }_{\gamma }^2\right)\\ & =J\int \mathcal{D}\delta \tilde{v}{d}^k\delta a\exp \left(-\frac{1}{2}\Vert \delta \tilde{v}{\Vert }_{\gamma }^2-\frac{1}{2}\Vert \delta a^s{\Phi }_s{\Vert }_{\gamma }^2\right)\\ & =J{\left[\det \left({\Phi }_s,{\Phi }_r\right)\right]}^{-1/2}\end{array}\text{\hspace{1em}(14.68a)}$$

其中

$$\left({\Phi }_s,{\Phi }_r\right)=\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }{\gamma }_{\alpha \beta }{\Phi }_s^{\alpha }{\Phi }_r^{\beta }.\text{\hspace{1em}(14.68b)}$$

[注记：虽然矩阵元 (14.68b) 是对 $\gamma ={\mathrm{e}}^{\varphi }\hat{\gamma }$ 定义的，但可以证明它与 ${\mathrm{e}}^{\varphi }$ 无关。为看出这一点，取 $\hat{\gamma }$ 的一个共形Killing向量 ${\hat{\Phi }}_s^{\alpha }$；${\hat{\nabla }}_{\alpha }{\hat{\Phi }}_{s\beta }+{\hat{\nabla }}_{\beta }{\hat{\Phi }}_{s\alpha }={\hat{\gamma }}_{\alpha \beta }\hat{\nabla }{\hat{\Phi }}_s^{\gamma }$，其中 $\hat{\nabla }$ 是关于 $\hat{\gamma }$ 的协变导数，而 ${\hat{\Phi }}_{s\alpha }\equiv {\hat{\gamma }}_{\alpha \beta }{\hat{\Phi }}_s^{\beta }$。简单计算表明 ${\Phi }_{s\alpha }={\gamma }_{\alpha \beta }{\hat{\Phi }}_s^{\beta }={\mathrm{e}}^{\varphi }{\hat{\Phi }}_{s\alpha }$ 满足

$$\begin{array}{rl}{\nabla }_{\alpha }{\Phi }_{s\beta }+{\nabla }_{\beta }{\Phi }_{s\alpha }& =e^{\varphi }({\hat{\nabla }}_{\alpha }{\hat{\Phi }}_{s\beta }+{\hat{\nabla }}_{\beta }{\hat{\Phi }}_{s\alpha }+{\hat{\gamma }}_{\alpha \beta }{\Phi }_s^{\gamma }{\partial }_{\gamma }\varphi )\\ & ={\mathrm{e}}^{\varphi }{\hat{\gamma }}_{\alpha \beta }\left({\hat{\nabla }}_{\gamma }{\Phi }_s^{\gamma }+{\Phi }_s^{\gamma }{\partial }_{\gamma }\varphi \right)={\gamma }_{\alpha \beta }{\nabla }_{\gamma }{\Phi }_s^{\gamma }\end{array}$$

其中 $\nabla$ 是关于 $\gamma$ 的协变导数。于是 ${\Phi }_s^{\alpha }={\hat{\Phi }}_s^{\alpha }$ 是度规 $\gamma ={\mathrm{e}}^{\varphi }\hat{\gamma }$ 的共形Killing向量，而共形Killing向量取为与 $\varphi$ 无关。] 式 (14.68a) 表明

$$\mathcal{D}\delta v={\left[\det \left({\Phi }_r,{\Phi }_s\right)\right]}^{1/2}\mathcal{D}\delta \tilde{v}{d}^k\delta a.\text{\hspace{1em}(14.69)}$$

现在总测度可写为

$$J{\left[\det \left({\Phi }_r,{\Phi }_s\right)\right]}^{1/2}{\mathrm{d}}^{n}t\mathcal{D}\delta \varphi \mathcal{D}\delta \tilde{v}{\mathrm{d}}^k\delta a\mathcal{D}\delta \tilde{X}\text{\hspace{1em}(14.70)}$$

其中 $J$ 负责其余变量的变换。

雅可比行列式 $J$ 现在可由(14.60)、(14.66)、(14.70)以及测度的定义(14.56)得到。我们有

$$\begin{array}{rl}& 1=\int \mathcal{D}\delta \gamma \mathcal{D}\delta X\exp (-\frac{1}{2}||\delta \gamma |{|}_{\gamma }^2-\frac{1}{2}||\delta X|{|}_{\gamma }^2)\\ & =J\stackrel{1/2}{\det }(\Phi ,\Phi )\int {\mathrm{d}}^n\delta t\mathcal{D}\delta \tilde{v}\mathcal{D}\delta \varphi {\mathrm{d}}^k\delta a\mathcal{D}\delta \tilde{X}\\ & \times \exp [-\frac{1}{2}{\Vert \delta \varphi {\gamma }_{\alpha \beta }+(P_1\delta \tilde{v}{)}_{\alpha \beta }+\delta t^i\frac{\partial {\gamma }_{\alpha \beta }}{\partial t^i}\Vert }^2\\ & -\frac{1}{2}\Vert \delta \tilde{X}+\delta {\tilde{v}}^{\alpha }{\partial }_{\alpha }\tilde{X}+\delta a^s{\Phi }_s^{\alpha }{\partial }_{\alpha }\tilde{X}{\Vert }^2]\\ & =J\stackrel{1/2}{\det }(\Phi ,\Phi )\int {\mathrm{d}}^n\delta t\mathcal{D}\delta \tilde{v}\dots \exp \left(-\frac{1}{2}\Vert MV{\Vert }^2\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(14.71)}$$

其中

$$V=\left(\begin{array}{l}\delta t\\ \delta \varphi \\ \delta \tilde{v}\\ \delta a\\ \delta \tilde{X}\end{array}\right)M=\left(\begin{array}{ccccc}\partial \gamma /\partial t& \gamma & P_1& 0& 0\\ 0& 0& \partial \tilde{X}& \Phi \cdot \partial \tilde{X}& 1\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(14.72)}$$

(14.71) 指数中的矩阵为

$$\begin{array}{rl}{M}^{†}M& =\left(\begin{array}{cc}{A}^{†}& C^{†}\\ 0& B^{†}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ C& B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}^{†}A+C^{†}C& C^{†}B\\ B^{†}C& B^{†}B\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}I& \ast \\ 0& B^{†}B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{A}^{†}A& 0\\ \ast \ast & I\end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(14.73)}$$

其中 $\ast$ 与 $\ast \ast$ 无关紧要。最后一个表达式是由下述恒等式得到的，

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& B\\ 0& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A-B{D}^{-1}C& 0\\ D^{-1}C& I\end{array}\right).$$

(14.71) 中的高斯积分容易算出，从而得到

$$\begin{array}{rl}1& =J\stackrel{1/2}{\det }(\Phi ,\Phi )\stackrel{-1/2}{\det }(M^{†}M)\\ & =J\stackrel{1/2}{\det }(\Phi ,\Phi )[\det (A^{†}A)\det (B^{†}B){]}^{-1/2}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.74)}$$

为计算 ${\det }^{1/2}(A^{†}A)$，我们需要求出 $\Vert \delta \gamma {\Vert }_{\gamma }^2$。我们有

$$\begin{array}{rl}& ||\delta \gamma |{|}_{\gamma }^2=\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }(G^{\alpha \beta \gamma \delta }+u{\gamma }^{\alpha \beta }{\gamma }^{\gamma \delta })\\ & \times [\delta \varphi {\gamma }_{\alpha \beta }+(P_1\delta \tilde{v}{)}_{\alpha \beta }+\delta t^i{T}_{i\alpha \beta }][\delta \varphi {\gamma }_{\gamma \delta }+(P_1\delta \tilde{v}{)}_{\gamma \delta }+\delta t^j{T}_{j\gamma \delta }]\\ & =4u\Vert \delta \varphi {\Vert }_{\gamma }^2+\Vert P_1\delta \tilde{v}{\Vert }^2+\delta t^i\delta t^j\left(T_i,T_j\right)+2\delta t^i\left(P_1\delta \tilde{v},T_i\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(14.75)}$$

一般而言，$T_i$ 与 $P_1\delta v$ 并不正交。为了把 $T_i$ 分解为与 $P_1\delta v$ 正交的部分和与 $P_1\delta v$ 平行的部分，我们需要定义 $P_1$ 的伴随 $P_1^{†}$。$P_1$ 是一个椭圆算子，它把一个向量场映为无迹的对称张量场。因此，$P_1^{†}$ 把对称无迹张量映为向量。对于对称无迹张量 $\delta h$，我们有

$$\begin{array}{rl}(P_1\delta v,\delta h)& =\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }{G}^{\alpha \beta \gamma \delta }(P_1\delta v{)}_{\alpha \beta }\delta h_{\gamma \delta }\\ & =\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }({\nabla }^{\alpha }\delta v^{\beta }+{\nabla }^{\beta }\delta v^{\alpha })\delta h_{\alpha \beta }\\ & =\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }\delta v^{\alpha }(-2{\nabla }^{\beta })\delta h_{\alpha \beta }\equiv (\delta v,P_1^{†}\delta h)\end{array}$$

其中最后一个表达式中的内积由 (14.54c) 定义。于是可得

$${\left(P_1^{†}\delta h\right)}_{\alpha }=-2{\nabla }^{\beta }\delta h_{\alpha \beta }.\text{\hspace{1em}(14.76)}$$

设 $\delta h$ 与 $P_1\delta v$ 正交。由前面的讨论，我们有 $(P_1\delta v,\delta h)=(\delta v,P_1^{†}\delta h)=0$。由于 $\delta v$ 是任意的，$\delta h$ 必为 $\ker P_1^{†}$ 中的元素，见图 14.4。现在 $T_i$ 可以分解为

图 14.4. 映射 $P_1$ 及其伴随 $P_1^{†}$。

$$T_i={\mathcal{P}}_0{T}_i+{\mathcal{P}}_{\perp }{T}_i\text{\hspace{1em}(14.77a)}$$

其中投影算符 ${\mathcal{P}}_0$ 与 ${\mathcal{P}}_{\perp }$ 定义为

$${\mathcal{P}}_0\equiv 1-P_1\frac{1}{P_1^{†}{P}_1}{P}_1^{†}{\mathcal{P}}_{\perp }\equiv P_1\frac{1}{P_1^{†}{P}_1}{P}_1^{†}.\text{\hspace{1em}(14.77b)}$$

容易验证，对 $T_i\in \ker P_1^{†}$ 有 ${\mathcal{P}}_0+{\mathcal{P}}_1=1$、${\mathcal{P}}_0{\mathcal{P}}_{\perp }=0$、$P_1^{†}{\mathcal{P}}_0=0$、$P_1^{†}{\mathcal{P}}_{\perp }=P_1^{†}$、${\mathcal{P}}_0{T}_i=T_i$ 和 ${\mathcal{P}}_{\perp }{T}_i=0$ 等等。因此 (14.77a) 是 $T_i$ 的一个正交分解。我们记 ${\mathcal{P}}_{\perp }{T}_i=P_1{u}_i$，其中

$$u_i=\frac{1}{P_1^{†}{P}_1}{P}_1^{†}{T}_i.$$

设 $\{{\psi }_r\}(1\le r\le n)$ 是 $\ker P_1^{†}$ 的一组实基，它未必是正交归一的。于是 $T_i$ 可按 (图 14.5) 展开为

图 14.5. $\{T_i\}$ 张成与规范切片相切的形变，而 $\{{\psi }_r\}$ 张成 $\ker P_1^{†}$。

$$T_i=\sum _r{\psi }_r{Q}_{ri}+P_1{u}_i.\text{\hspace{1em}(14.78)}$$

在 $T_i$ 与 ${\psi }_r$ 之间取内积，可得

$$Q_{ri}=\sum _s[(\psi ,\psi {)}^{-1}{]}_{rs}\left({\psi }_s,T_i\right).\text{\hspace{1em}(14.79)}$$

最后，$\delta \gamma$ 被分解为相互正交的几部分：

$$\delta \gamma =\delta \varphi \gamma +P_1\left(\delta \tilde{v}+\delta t^i{u}_i\right)+\delta t^i{\psi }_r{Q}_{ri}.\text{\hspace{1em}(14.80a)}$$

相应地，度规形变 $\{\delta \gamma \}$ 的空间分解为直和

$$\{\delta \gamma \}=\left\{\mathrm{conf}\right\}\oplus \left\{\mathrm{im}{P}_1\right\}\oplus \left\{\ker P_1^{†}\right\}.\text{\hspace{1em}(14.80b)}$$

把 (14.80a) 代入(14.75)，得到

$$\begin{array}{rl}& {\left|\left|\delta \gamma \right|\right|}^2=4u{\left|\left|\delta \varphi \right|\right|}^2+{\left|\left|P_1\delta \bar{v}\right|\right|}^2\\ & +\delta t^i\delta t^j{\left(T_i,{\psi }_r\right)}_{\gamma }{\left[(\psi ,\psi {)}_{\gamma }^{-1}\right]}_{rs}{\left({\psi }_s,T_j\right)}_{\gamma }\end{array}\text{\hspace{1em}(14.81)}$$

其中 $\delta \bar{v}\equiv \delta \tilde{v}+\delta t^i{u}_i$，而最后一项中的逆指的是矩阵 $(a_{rs})=(({\psi }_r,{\psi }_s))$ 的逆。若令 ${\mathcal{V}}_1^t=(\delta t,\delta \varphi ,\delta \bar{v})$，则可得

$$\begin{array}{rl}& \stackrel{-1/2}{\det }\left(A^{†}A\right)=\int {\mathrm{d}}^n\delta t\mathcal{D}\delta \varphi \mathcal{D}\delta \bar{v}\exp \left(-\frac{1}{2}{\mathcal{V}}_1^t{A}^{†}A{\mathcal{V}}_1\right)\\ & =\int \mathcal{D}\delta \varphi \exp (-2u||\delta \varphi |{|}^2)\int \mathcal{D}\delta \bar{v}\exp (-\frac{1}{2}||P_1\bar{v}|{|}^2)\\ & \times \int {\mathrm{d}}^n\delta t\exp \left\{-\frac{1}{2}\delta t^i\left(T_i,{\psi }_r\right){\left[(\psi ,\psi {)}^{-1}\right]}_{rs}\left({\psi }_s,T_j\right)\delta t^j\right\}\\ & \propto {\left(\det P_1^{†}{P}_1\right)}^{-1/2}{\left(\frac{\det (T,\psi {)}^2}{\det (\psi ,\psi )}\right)}^{-1/2}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.82)}$$

综合(14.71)与(14.82)的结果，我们有

$$1=J\stackrel{1/2}{\det }(\Phi ,\Phi )\stackrel{-1/2}{\det }{B}^{†}B\stackrel{-1/2}{\det }{P}_1^{†}{P}_1{\left(\frac{\det (T,\psi {)}^2}{\det (\psi ,\psi )}\right)}^{-1/2}.$$

于是 $g$ 圈的配分函数由下式给出

$$\begin{array}{rl}& Z_g=\int \frac{{\mathrm{d}}^{n}t\mathcal{D}\bar{v}\mathcal{D}\varphi \det \tilde{X}}{V(\text{微分同胚}\ast \text{外尔})}\stackrel{1/2}{\det }{B}^{†}B\stackrel{-1/2}{\det }(\Phi ,\Phi )\\ & \times {\left(\det P_1^{†}{P}_1\frac{\det (T,\psi {)}^2}{\det (\psi ,\psi )}\right)}^{1/2}{\mathrm{e}}^{-S}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.83)}$$

对 $a$（即 CKV）的积分已被略去，因为它已经包含在对 $\varphi$ 的积分之中。粗略地看，对 $\bar{v}$ 的积分给出 $V({\mathrm{Diff}}_0^{\perp })$，对 $\varphi$ 的积分给出 $V(\mathrm{Weyl})$。然而，正如练习 14.3所示，测度 $\mathcal{D}X$ 与 $\mathcal{D}\gamma$ 都依赖于共形因子。Polyakov（1981）指出，在共形变换 $\gamma \to {\mathrm{e}}^{2\varphi }\gamma$ 之下，这些测度的变换为

$$\begin{array}{rl}& \mathcal{D}X\to \exp \left(\frac{D}{24{\pi }^2}\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }\left({\gamma }^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }\varphi {\partial }_{\beta }\varphi +\mathcal{R}\varphi \right)\right)\mathcal{D}X(14.84a)\\ & \mathcal{D}\gamma \to \exp \left(\frac{-26}{24{\pi }^2}\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }\left({\gamma }^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }\varphi {\partial }_{\beta }\varphi +\mathcal{R}\varphi \right)\right)\mathcal{D}\gamma .(14.84b)\end{array}$$

因此，测度 $\mathcal{D}X\mathcal{D}\gamma$ 是共形不变的，当且仅当 $D=26$。这个数 26 称为临界维数(critical dimension)。此后我们总假定

$D=26$。于是(14.83)简化为

$$\begin{array}{rl}& Z_g=\frac{1}{|\mathrm{MCG}|}\int {\mathrm{d}}^{n}t\mathcal{D}\tilde{X}\stackrel{1/2}{\det }{B}^{†}B\stackrel{-1/2}{\det }(\Phi ,\Phi )\\ & \times {\left(\det P_1^{†}{P}_1\frac{\det (T,\psi {)}^2}{\det (\psi ,\psi )}\right)}^{1/2}{e}^{-S}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.85)}$$

我们进行对 $X$ 的积分以消去 ${\det }^{1/2}{B}^{†}B$。我们有

$$\begin{array}{rl}1& =\int \mathcal{D}\delta X\exp \left(-\frac{1}{2}||\delta X|{|}^2\right)\\ & =J\int \mathcal{D}\delta \tilde{X}{d}^k\delta a\exp \left(-\frac{1}{2}||\delta \tilde{X}+\delta a^s{\Phi }_s^{\alpha }{\partial }_{\alpha }\tilde{X}|{|}^2\right)\\ & =J\int \mathcal{D}\delta \tilde{X}\exp \left(-\frac{1}{2}||\delta \tilde{X}|{|}^2\right)\int d^k\delta a\exp \left(-\frac{1}{2}||\delta a^s{\Phi }_s^{\alpha }{\partial }_{\alpha }\tilde{X}|{|}^2\right)\\ & =J\stackrel{-1/2}{\det }\left(B^{†}B\right)\end{array}$$

于是 ${\det }^{1/2}(B^{†}B)$ 就被等同于变换 $X\to (\tilde{X},a)$ 的雅可比行列式。因此可得

$$\int \mathcal{D}\tilde{X}\stackrel{1/2}{\det }{B}^{†}B{e}^{-S}=\int \frac{\mathcal{D}X}{V(\mathrm{CKV})}{e}^{-S}\text{\hspace{1em}(14.86)}$$

其中 $V(\mathrm{CKV})=\int {\mathrm{d}}^{k}a$ 是 CKV 的体积。

对 $X$ 的积分很容易完成。我们把它写成

$${\int }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}X{\mathrm{e}}^{-S}={\int }_{\mathcal{E}}\mathcal{D}X\exp \left[-\frac{1}{2}(X,\Delta X)\right]\text{\hspace{1em}(14.87a)}$$

其中

$$\Delta =-\frac{1}{\sqrt{\gamma }}{\partial }_{\alpha }\sqrt{\gamma }{\gamma }^{\alpha \beta }{\partial }_{\beta }\text{\hspace{1em}(14.87b)}$$

是作用在0-形式上的拉普拉斯算符，见(7.188)。我们写出路径积分 (14.87a) 的显式形式。设 ${\psi }_n$ 为 $\Delta$ 的本征函数，

$$\Delta {\psi }_n={\lambda }_n{\psi }_n{\lambda }_n\in [0,\infty )\text{\hspace{1em}(14.88)}$$

其中 ${\psi }_n$ 归一化为

$$({\psi }_n,{\psi }_m)=\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }{\psi }_n{\psi }_m={\delta }_{nm}.$$

特征值 $\lambda$ 非负，因为 $\Delta$ 是正定的。我们把 $X^{\mu }$ 按 ${\psi }_n$ 展开为

$$X^{\mu }=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n^{\mu }{\psi }_n=X_0^{\mu }+X^{{}^{\prime }\mu }{a}_n^{\mu }\in R\text{\hspace{1em}(14.89)}$$

其中 $X_0^{\mu }=a_0^{\mu }{\psi }_0$ 是 $\Delta$ 的零本征函数，而 $X^{\prime \mu }$ 是其余的自由度。相应地，路径积分 (14.87a) 可写为

$$\begin{array}{rl}\int \mathcal{D}X\exp \left[-\frac{1}{2}(X,\Delta X)\right]& =\int \prod _{n,\mu }\mathrm{d}{a}_n^{\mu }\exp \left(-\frac{1}{2}\sum _{n,\mu }{\lambda }_n{\left(a_n^{\mu }\right)}^2\right)\\ & =\int \prod _{\mu }\mathrm{d}{a}_0^{\mu }\int \prod _{n\ne 0}\prod _{\mu }\mathrm{d}{a}_n^{\mu }\exp \left(-\frac{1}{2}\sum _{n,\mu }{\lambda }_n(a_n^{\mu }{)}^2\right)\\ & =\left(\int \prod _{\mu }\mathrm{d}{a}_0^{\mu }\right){\left(\stackrel{\prime }{\det }\Delta \right)}^{-13}\end{array}\text{\hspace{1em}(14.90)}$$

其中撇号表示略去零模。为了对零模积分，我们注意到归一化的特征向量 ${\psi }_0$ 由下式给出

$${\psi }_0={\left(\frac{1}{\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }}\right)}^{1/2}.\text{\hspace{1em}(14.91)}$$

由 $X_0^{\mu }=a_0^{\mu }{\psi }_0$ 可得

$$\int \prod _{\mu }\mathrm{d}{a}_0^{\mu }=\int \prod _{\mu }\mathrm{d}{X}_0^{\mu }({\psi }_0{)}^{-26}=V{\left(\frac{1}{\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }}\right)}^{-13}\text{\hspace{1em}(14.92)}$$

其中 $V=\int \prod \mathrm{d}{X}_0^{\mu }$ 是时空体积。综合结果 (14.90) 与 (14.92)，我们得到

$$\int \mathcal{D}X{\mathrm{e}}^{-S}={\left(\frac{{\det }^{\prime }\Delta }{\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }}\right)}^{-13}\text{\hspace{1em}(14.93)}$$

其中我们略去了 $V$ 以及其他无关的常数。

最后，我们得到了 $g$ 圈配分函数的表达式

$$\begin{array}{rl}& Z_g={\int }_{\mathrm{Mod}}\frac{{\mathrm{d}}^{n}t}{V(\mathrm{CKV})}\frac{\det (T,\psi )}{{\det }^{1/2}(\psi ,\psi ){\det }^{1/2}(\Phi ,\Phi )}\\ & \times {\left[\stackrel{\prime }{\det }{P}_1^{†}{P}_1\right]}^{1/2}{\left(\frac{{\det }^{\prime }\Delta }{\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }}\right)}^{-13}\end{array}\text{\hspace{1em}(14.94)}$$

其中我们已注意到

$$\frac{1}{|\mathrm{MCG}|}{\int }_{\text{泰希米勒}}{\mathrm{d}}^{n}t={\int }_{\text{M o d}}{\mathrm{d}}^{n}t.\text{\hspace{1em}(14.95)}$$

若 $g\ge 2$，则黎曼面没有共形Killing向量，而(14.95)简化为

$$Z_g={\int }_{\text{M o d}}{\mathrm{d}}^{n}t\frac{\det (T,\psi )}{{\det }^{1/2}(\psi ,\psi )}{\left(\stackrel{\prime }{\det }{P}_1^{†}{P}_1\right)}^{1/2}{\left(\frac{{\det }^{\prime }\Delta }{\int {\mathrm{d}}^2\xi \sqrt{\gamma }}\right)}^{-13}.\text{\hspace{1em}(14.96)}$$

14.2.3 复张量运算与弦测度

由于任何黎曼面都容许复结构，我们可以利用这一事实来计算弦振幅。弦论的许多美妙之处，只有在显式地考虑这些复结构之后才会显现出来。这里我们用复微分几何的语言重新写出配分函数。

我们首先通过在 ${\mathcal{M}}_g$ 中选取等温坐标系来固定规范

$$\gamma =\frac{1}{2}{e}^{2\sigma }[dz\otimes d\bar{z}+d\bar{z}\otimes dz]$$

其中 ${\gamma }_{z\bar{z}}={\gamma }_{\bar{z}z}=\frac{1}{2}\exp 2\sigma .$。于是，在由 $\delta v$ 生成的微分同胚下，$\gamma$ 的形变为（参见(14.45)）

$${\delta }_{\mathrm{D}}{\gamma }_{zz}=2{\nabla }_z^{(-1)}\delta v_z\text{\hspace{1em}(14.97)}$$

$${\delta }_{\mathrm{D}}{\gamma }_{z\bar{z}}={\nabla }_z\delta v_{\bar{z}}+{\nabla }_{\bar{z}}\delta v_z={\gamma }_{\bar{z}z}({\nabla }_z^{(1)}\delta v^z+{\nabla }_{(-1)}^z\delta v_z).$$

类似地，由无穷小共形变换生成的 ${\delta }_{\mathrm{W}}\gamma$ 为（参见(14.46)）

$${\delta }_W{\gamma }_{z\bar{z}}=\delta \varphi {\gamma }_{z\bar{z}}{\delta }_W{\gamma }_{zz}=0.\text{\hspace{1em}(14.98)}$$

为了看出算子 $P_1$ 对向量的作用，我们取 $\delta v^z\in {\mathfrak{T}}^1$ 与 $\delta v_z\in {\mathfrak{T}}^{-1}$。由(14.50)可得

$$(P_1\delta v{)}^{zz}=2{\nabla }_{(1)}^z\delta v^z\in {\mathfrak{T}}^2\text{\hspace{1em}(14.99a)}$$

$$(P_1\delta v{)}_{zz}=2{\nabla }_z^{(-1)}\delta v_z\in {\mathfrak{T}}^{-2}.\text{\hspace{1em}(14.99b)}$$

这表明 $P_1$ 是一个映射：

$$P_1=\left(\begin{array}{cc}{\nabla }_{(1)}^z& 0\\ 0& {\nabla }_z^{(-1)}\end{array}\right):{\mathfrak{T}}^1\oplus {\mathfrak{T}}^{-1}\to {\mathfrak{T}}^2\oplus {\mathfrak{T}}^{-2}.\text{\hspace{1em}(14.100)}$$

类似地，$P_1^{†}$ 把无迹对称张量映为向量。对于 $\delta h^{zz}\in {\mathfrak{T}}^2$ 与 $\delta h_{zz}\in {\mathfrak{T}}^{-2}$，有

$${\left(P_1^{†}\delta h\right)}^z={\nabla }_z^{(2)}\delta h^{zz}\in {\mathfrak{T}}^1\text{\hspace{1em}(14.101a)}$$

$${\left(P_1^{†}\delta h\right)}_z={\nabla }_{(-2)}^z\delta h_{zz}\in {\mathfrak{T}}^{-1}.\text{\hspace{1em}(14.101b)}$$

因此，$P_1^{†}$ 是一个映射：

$$P_1^{†}=\left(\begin{array}{cc}{\nabla }_z^{(2)}& 0\\ 0& {\nabla }_{(-2)}^z\end{array}\right):{\mathfrak{T}}^2\oplus {\mathfrak{T}}^{-2}\to {\mathfrak{T}}^1\oplus {\mathfrak{T}}^{-1}.\text{\hspace{1em}(14.102)}$$

乘积 $P_1^{†}{P}_1$ 为

$$P_1^{†}{P}_1=\left(\begin{array}{cc}{\nabla }_z^{(2)}{\nabla }_{(1)}^z& 0\\ 0& {\nabla }_{(-2)}^z{\nabla }_z^{(-1)}\end{array}\right):{\mathcal{T}}^1\oplus {\mathcal{T}}^{-1}\to {\mathcal{T}}^1\oplus {\mathcal{T}}^{-1}.\text{\hspace{1em}(14.103)}$$

于是，(14.96) 中的行列式变为

$$\begin{array}{rl}{\left(\stackrel{\prime }{\det }{P}_1^{†}{P}_1\right)}^{1/2}& ={\left(\stackrel{\prime }{\det }{\nabla }_z^{(2)}{\nabla }_{(1)}^z\stackrel{\prime }{\det }{\nabla }_{(-2)}^z{\nabla }_z^{(-1)}\right)}^{1/2}\\ & ={\left(\stackrel{\prime }{\det }{\Delta }_{(1)}^{+}{\Delta }_{(-1)}^{-}\right)}^{1/2}\end{array}\text{\hspace{1em}(14.104)}$$

其中 ${\Delta }_{(n)}^{\pm }$ 为拉普拉斯算符。下面证明 ${\Delta }_{(1)}^{+}$ 的谱与 ${\Delta }_{(-1)}^{-}$ 的谱相同。取 ${\Delta }_{(1)}^{+}$ 的一个本征函数 $\delta v^z$，

$${\Delta }_{(1)}^{+}\delta v^z=-2{\mathrm{e}}^{-4\sigma }{\partial }_z{\mathrm{e}}^{2\sigma }{\partial }_{\bar{z}}\delta v^z=\lambda \delta z^z\text{\hspace{1em}(14.105)}$$

这里用到了 (14.21a)。特征值 $\lambda$ 是非负实数（注意 ${\Delta }_{(n)}^{\pm }$ 是正定厄米算符）。于是可得

$$\begin{array}{rl}{\Delta }_{(-1)}^{-}\left({\gamma }_{z\bar{z}}\overline{\delta v^z}\right)& =-{\mathrm{e}}^{-2\sigma }{\partial }_{\bar{z}}{\mathrm{e}}^{2\sigma }{\partial }_z\overline{\delta v^z}=-{\mathrm{e}}^{-2\sigma }\overline{{\partial }_z{\mathrm{e}}^{2\sigma }{\partial }_{\bar{z}}\delta v^z}\\ & =-{\gamma }_{z\bar{z}}2e^{-4\sigma }\overline{{\partial }_z{e}^{2\sigma }{\partial }_{\bar{z}}\delta v^z}=\lambda {\gamma }_{z\bar{z}}\overline{\delta v^z}\end{array}\text{\hspace{1em}(14.106)}$$

这表明 ${\gamma }_{\overline{z}\overline{z}}\overline{\delta v^{\overline{z}}}$ 是 ${\Delta }_{(-1)}^{-}$ 的一个本征函数，且具有相同的特征值 $\lambda$。容易看出其逆命题也成立，见练习 14.5。因此，${\Delta }_{(1)}^{+}$ 与 ${\Delta }_{(-1)}^{-}$ 具有相同的特征值，且 ${\det }^{\prime }{\Delta }_{(1)}^{+}={\det }^{\prime }{\Delta }_{(-1)}^{-}$。于是(14.104) 变为

$${\left(\stackrel{\prime }{\det }{P}_1^{†}{P}_1\right)}^{1/2}=\stackrel{\prime }{\det }{\Delta }_{(-1)}^{-}=\stackrel{\prime }{\det }{\Delta }_{(1)}^{+}.\text{\hspace{1em}(14.107)}$$

练习 14.5

设 $\delta v_z$ 是 ${\Delta }_{(-1)}^{-}$ 的一个特征向量，其特征值为 $\lambda$。证明 ${\gamma }^{z\overline{z}}\overline{\delta v_z}$ 是 ${\Delta }_{(1)}^{+}$ 的特征向量，且具有相同的特征值。

度量的物理变化就是泰希米勒形变 $\delta {\tau }^i{\mu }_i$，其中 ${\tau }^i({\mu }_i)$ 是 $t^i(T_i)$ 的复对应物。由经验可知，泰希米勒形变的相关部分在实基下是对称且无迹的。在复基下，这相当于 ${\mu }_{iz\bar{z}}={\mu }_{i\bar{z}z}=0$。据此，度量的一般变分由下式给出

$$\delta {\gamma }_{zz}={\nabla }_z^{(-1)}\delta {\tilde{v}}_z+\delta {\tau }^i{\mu }_{izz}\text{\hspace{1em}(14.108a)}$$

$$\delta {\gamma }_{z\bar{z}}=\delta \varphi {\gamma }_{z\bar{z}}\text{\hspace{1em}(14.108b)}$$

其中我们重新定义了 $\delta \varphi$，使其包含 $\delta {\gamma }_{z\bar{z}}$ 因 $\delta v$ 而产生的变分（注意 ${\delta }_{\mathrm{D}}{\gamma }_{z\bar{z}}\propto {\gamma }_{z\bar{z}}$）。在 (14.108a) 中，$\delta \tilde{v}$ 不含 CKV，即 $\delta \tilde{v}\in (\ker {\nabla }_z^{(-1)}{)}^{\perp }$。

为了对 $\{\delta \gamma \}$ 进行正交分解，我们需要在各个空间中定义内积。最自然的选择是

$${\Vert \delta {\gamma }_{zz}\Vert }^2=\int {\mathrm{d}}^{2}z\sqrt{\gamma \overline{\delta {\gamma }_{zz}}}\delta {\gamma }^{zz}\text{\hspace{1em}(14.109a)}$$

$$\Vert \delta {\gamma }_{z\bar{z}}{\Vert }^2=\int {\mathrm{d}}^{2}z\sqrt{\gamma \delta {\gamma }_{z\bar{z}}}\delta {\gamma }^{z\bar{z}}\text{\hspace{1em}(14.109b)}$$

以及

$${\Vert \delta v_z\Vert }^2=\int d^{2}z\sqrt{\gamma }{\gamma }_{z\bar{z}}\overline{\delta v^z}\delta v^z.\text{\hspace{1em}(14.109c)}$$

注意 $\delta {\gamma }_{zz}\mathrm{d}z\otimes \mathrm{d}z$ 与 $\delta {\gamma }_{z\bar{z}}\mathrm{d}z\otimes \mathrm{d}\bar{z}$ 是不同的张量，因此必须分别指定它们的内积。

仿照上一小节的论证，我们引入正交分解，

$$\delta {\gamma }_{zz}={\nabla }_z^{(-1)}\delta {\tilde{v}}_z+\delta {\tau }^i{\mu }_{izz}={\nabla }_z^{(-1)}\delta {\bar{v}}_z+\delta {\tau }^i{\varphi }_{izz}\text{\hspace{1em}(14.110)}$$

其中 $\delta \bar{v}=\delta \tilde{v}+(\mathrm{projection}\mathrm{of}\delta {\tau }^i{\mu }_{izz}\mathrm{into}\{\mathrm{im}{\nabla }_z^{(-1)}\})$。${\nabla }_z^{(-1)}\delta {\bar{v}}_z$ 与 ${\varphi }_{izz}$ 的正交性意味着

$$0=({\nabla }_z^{(-1)}\delta v_z,{\varphi }_{izz})=\int {\mathrm{d}}^{2}z\sqrt{\gamma \delta v_z}(-{\nabla }_{(-2)}^z{\varphi }_{izz})$$

这里我们已注意到 ${\nabla }_z^{(-1)†}=-{\nabla }_{(-2)}^z$。于是我们发现，如图 14.6所示，

图 14.6. 映射 ${\nabla }_z^{(-)}$ 及其伴随 ${\nabla }_{(-2)}^z$。

$${\varphi }_{izz}\in \ker {\nabla }_{(-2)}^z.\text{\hspace{1em}(14.111)}$$

${\nabla }_{(-2)}^z$ 的显式形式表明 ${\partial }_{\bar{z}}{\varphi }_{izz}=0$，即 $\ker {\nabla }_{(-2)}^z$ 是螺旋度为 $-2$ 的全纯张量集合。张量 ${\varphi }_i={\varphi }_{i\bar{z}z}\mathrm{d}z\otimes \mathrm{d}z$ 称为二次微分(quadratic differential)，而 ${\mu }_i={\mu }_{i\bar{z}z}\mathrm{d}z\otimes \mathrm{d}z$ 称为贝尔特拉米微分(Beltrami differential)，见图 14.7。在实际计算中，用贝尔特拉米微分来指定规范切片往往很方便，这一点后面会看到。现在我们已经确立了

图 14.7. 贝尔特拉米微分 $\{{\mu }_i\}$ 张成与规范切片相切的形变，而 $\{{\varphi }_i\}$ 张成 $\ker {\nabla }_{(-2)}^z$。

$$\left\{\ker P_1^{†}\right\}=\left\{\text{二次微分}\right\}=\left\{\ker {\nabla }_{(-2)}^z\right\}.\text{\hspace{1em}(14.112)}$$

黎曼-罗赫定理 定理 14.27 取如下形式

$${\dim }_{\mathbb{C}}\ker {\nabla }_z^{(-1)}-{\dim }_{\mathbb{C}}\ker {\nabla }_{(-2)}^z=3-3g.\text{\hspace{1em}(14.113)}$$

现在我们把 $\{\delta \gamma \}$ 分解为相互正交的几部分

$$\{\delta \gamma \}=\left\{\mathrm{conf}\right\}\oplus \left\{\mathrm{im}{\nabla }_z^{(-1)}\right\}\oplus \left\{\ker {\nabla }_{(-2)}^z\right\}+cc\text{\hspace{1em}(14.114)}$$

这应与 (14.80b) 相比较。测度变为

$$\mathcal{D}\delta \gamma \mathcal{D}\delta X\to J{\mathrm{d}}^n\delta \tau \mathcal{D}\delta \bar{v}\mathcal{D}\delta \varphi \mathcal{D}\delta \tilde{X}{\mathrm{d}}^k\delta a\text{\hspace{1em}(14.115)}$$

其中 $n$ 与 $k$ 分别是泰希米勒空间与 CKV 的复维数。重复上一小节的论证即可得到雅可比行列式，我们求得

$$\begin{array}{rl}{Z}_{\mathrm{g}}& =\int \mathcal{D}\gamma \mathcal{D}X\frac{1}{V(\text{微分}\ast \text{外尔})}{\mathrm{e}}^{-S}\\ & ={\int }_{\text{M o d}}{\mathrm{d}}^n\tau \mathcal{D}X\frac{{\det }^{\prime }{\Delta }_{(1)}^{+}}{V(\mathrm{CKV})}\frac{|\det (\mu ,\varphi ){|}^2}{\det (\varphi ,\varphi )\det (\Phi ,\Phi )}{\mathrm{e}}^{-S}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.116)}$$

由于我们是在对复变量积分，(14.96) 中的 1/2 次幂

在 (14.116) 中不再出现。对 $X$ 的积分给出

$$\begin{array}{rl}& Z_g={\int }_{\mathrm{Mod}}\frac{{\mathrm{d}}^n\tau }{V(\mathrm{CKV})}\frac{|\det (\mu ,\varphi ){|}^2}{\det (\varphi ,\varphi )\det (\Phi ,\Phi )}\\ & \times \stackrel{\prime }{\det }{\Delta }_{(1)}^{+}{\left(\frac{{\det }^{\prime }\Delta }{\int {\mathrm{d}}^{2}z\sqrt{\gamma }}\right)}^{-13}.\end{array}\text{\hspace{1em}(14.117)}$$

14.2.4 黎曼面的模空间

空间 $\mathrm{Mod}({\Sigma }_g)$ 与泰希米勒空间 $({\Sigma }_g)$ 的定义为

$$\mathrm{Mod}\left({\Sigma }_{\mathrm{g}}\right)\equiv {\mathcal{M}}_g/\mathrm{Diff}\left({\Sigma }_{\mathrm{g}}\right)\mathrm{Teich}\left({\Sigma }_{\mathrm{g}}\right)\equiv {\mathcal{M}}_{\mathrm{g}}/{\mathrm{Diff}}_0\left({\Sigma }_{\mathrm{g}}\right).$$

它们通过映射类群 $\equiv$ $\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)/{\mathrm{Diff}}_0({\Sigma }_g)$ 相联系，即 $\mathrm{Mod}({\Sigma }_g)=$ 泰希米勒空间 $({\Sigma }_g)/\mathrm{MCG}$。下面我们更仔细地考察这些对象。首先注意到：

$$\begin{array}{ccccc}g& {\dim }_{\mathbb{C}}\mathrm{CKV}& \mathrm{CKV}& {\dim }_{\mathbb{C}}\mathrm{Teich}\left({\Sigma }_g\right)& \mathrm{MCG}\\ 0& 3& \mathrm{SL}(2,C)& 0& \mathrm{SL}(2,R)\\ 1& 1& \mathrm{U}(1)\times \mathrm{U}(1)& 1& \mathrm{SL}(2,Z)\\ \ge 2& 0& \text{空集}& 3g-3& ?\end{array}\text{\hspace{1em}(14.118)}$$

[注记：当 $g\ge 2$ 时，MCG 可由 $3g-1$ 个德恩扭转(Dehn twist)表示，不过这些表示并非极小的。]由(14.118)我们立即得出 $Z_0=0$，因为泰希米勒空间只是一个点，而 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 的体积是无穷大。当然，这并不意味着带顶点算子的三个振幅为零。一般地，$\mathrm{Mod}({\Sigma }_g)$ 在拓扑上是非平凡的，尽管 $\mathrm{Teich}({\Sigma }_g)$ 是平凡的。$\mathrm{Teich}({\Sigma }_g)$ 是 $\mathrm{Mod}({\Sigma }_g)$ 的万有覆叠空间，其拓扑非平凡性来自 MCG。

在实际计算中，单值化定理非常有用。在上一小节中，我们先选取贝尔特拉米微分 ${\mu }_i$，然后把基变换为 ${\varphi }_i\in \ker P_1^{†}$。我们最初选取 ${\mu }_i$ 的动机正来自单值化定理。

定理 14.2 · 单值化定理

设 ${\Sigma }_g$ 是亏格为 $g$ 的环面，则它与常曲率黎曼面共形相关，该黎曼面由下式给出：

其中 $L$ 是 $\mathbb{C}$ 中的格（见例 8.2），$H$ 为上半平面，而 $G\subset \mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 称为富克斯群(Fuchsian group)。$g\ge 2$ 的度量是庞加莱度量(Poincaré metric)，见例 7.6。

该定理的证明可在例如 Farkas 与 Kra (1980) 中找到。借助这一定理，我们总可以取常曲率度量来构成 ${\mathcal{M}}_g$ 中的规范切片。这对应于贝尔特拉米微分 ${\mu }_i$ 的一种特殊选取。该切片定义了韦伊-彼得松测度：

$$\int {\mathrm{d}}^n\tau \frac{{\left|\det (\mu ,\varphi )\right|}^2}{\det (\varphi ,\varphi )}=\int \mathrm{d}(\text{韦伊-彼得松})\text{\hspace{1em}(14.120)}$$

见 D’Hoker 与 Phong (1986)。

练习 14.6

计算 (14.119) 中所给度量的标量曲率。验证这些度量与 $z$ 和 $\bar{z}$ 无关。

尾注

原书尾注 3：正文锚点待核

这里 $\ast$ 表示半直积(semi-direct product)。注意 $\mathrm{Diff}({\Sigma }_g)\cap \mathrm{Weyl}({\Sigma }_g)\ne \varnothing$。我们稍后会回到这一点。

原书尾注 （编号待核）：正文锚点待核

应当记住，我们引入切空间只是为了得到雅可比行列式；切空间本身并无物理意义。

原书尾注 6：正文锚点待核

由于 ${\psi }_0$ 满足 $\Delta {\psi }_0=0$，所以它是调和函数。由极大值原理，黎曼面上的任何调和函数都必为常数。

原书尾注 （编号待核）：正文锚点待核

事实上，这一选择并不能唯一地确定规范。稍后我们将借助单值化定理来完全确定规范。

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