8.5 凯勒流形与凯勒微分几何

8.5.1 定义

定义 8.4 凯勒流形、凯勒度量

凯勒流形(Kähler manifold)是指其凯勒形式 $\Omega$ 为闭的埃尔米特流形 $(M,g)$，即 $\mathrm{d}\Omega =0$。此时称度量 $g$ 为 $M$ 的凯勒度量(Kähler metric)。[注意：并非所有复流形都容许凯勒度量。]

$$R_{\overline{\kappa }\lambda \overline{\mu }v}\equiv g_{\overline{\kappa }\xi }{R}_{\lambda \overline{\mu }v}^{\xi }={\partial }_{\overline{\mu }}{\partial }_v{g}_{\lambda \overline{\kappa }}-g^{\overline{\eta }\xi }{\partial }_{\overline{\mu }}{g}_{\overline{\kappa }\xi }{\partial }_v{g}_{\lambda \overline{\eta }}\text{\hspace{1em}(8.76a)}$$

定理 8.5

埃尔米特流形 $(M,g)$ 是凯勒流形，当且仅当其近复结构 $J$ 满足

$${\nabla }_{\mu }J=0\text{\hspace{1em}(8.80)}$$

其中 ${\nabla }_{\mu }$ 是与 $g$ 相伴的列维-奇维塔联络。

证明

首先注意，对任意 $r$ 次形式 $\omega$，$\mathrm{d}\omega$ 可写成

$$\mathrm{d}\omega =\nabla \omega \equiv \frac{1}{r!}{\nabla }_{\mu }{\omega }_{v_1\dots v_r}\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{x}^{v_1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{v_r}.\text{\hspace{1em}(8.81)}$$

[例如，

$$\begin{array}{rl}\nabla \Omega & =\frac{1}{2}{\nabla }_{\lambda }{\Omega }_{\mu \nu }d{x}^{\lambda }\wedge d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }\\ & =\frac{1}{2}\left({\partial }_{\lambda }{\Omega }_{\mu \nu }-{\Gamma }_{\lambda \mu }^{\kappa }{\Omega }_{\kappa \nu }-{\Gamma }_{\lambda \nu }^{\kappa }{\Omega }_{\mu \kappa }\right)d{x}^{\lambda }\wedge d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }\\ & =\frac{1}{2}{\partial }_{\lambda }{\Omega }_{\mu \nu }d{x}^{\lambda }\wedge d{x}^{\mu }\wedge d{x}^{\nu }=d\Omega \end{array}$$

因为 $\Gamma$ 是对称的。] 下面我们证明 ${\nabla }_{\mu }J=0$ 当且仅当 ${\nabla }_{\mu }\Omega =0$。我们验证如下等式：

$$\begin{array}{rl}({\nabla }_Z\Omega )(X,Y)& ={\nabla }_Z[\Omega (X,Y)]-\Omega ({\nabla }_{Z}X,Y)-\Omega (X,{\nabla }_{Z}Y)\\ & ={\nabla }_Z[g(JX,Y)]-g(J{\nabla }_{Z}X,Y)-g(JX,{\nabla }_{Z}Y)\\ & =({\nabla }_{Z}g)(JX,Y)+g({\nabla }_{Z}JX,Y)-g(J{\nabla }_{Z}X,Y)\\ & =g\left({\nabla }_{Z}JX-J{\nabla }_{Z}X,Y\right)=g\left(\left({\nabla }_{Z}J\right)X,Y\right)\end{array}$$

其中用到了 ${\nabla }_{Z}g=0$。由于这对任意 $X,Y,Z$ 都成立，故 ${\nabla }_Z\Omega =0$ 当且仅当 ${\nabla }_{Z}J=0$。

定理 8.4 与 8.5 表明，在凯勒流形中黎曼结构与埃尔米特结构是相容的。

设 $g$ 为凯勒度量。由于 $\mathrm{d}\Omega =0$，我们有

$$\begin{array}{rl}& (\partial +\overline{\partial })\mathrm{i}{g}_{\mu \bar{\nu }}\mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{\nu }\\ & =\mathrm{i}{\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \bar{v}}\mathrm{d}{z}^{\lambda }\wedge \mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{\nu }+\mathrm{i}{\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \bar{v}}\mathrm{d}{\bar{z}}^{\lambda }\wedge \mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{\nu }\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{i}\left({\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \bar{v}}-{\partial }_{\mu }{g}_{\lambda \bar{v}}\right)\mathrm{d}{z}^{\lambda }\wedge \mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{\nu }\\ & +\frac{1}{2}\mathrm{i}\left({\partial }_{\overline{\lambda }}{g}_{\mu \overline{\nu }}-{\partial }_{\overline{\nu }}{g}_{\mu \overline{\lambda }}\right)\mathrm{d}{\vec{z}}^{\lambda }\wedge \mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^{\nu }=0\end{array}$$

由此得到

$$\frac{\partial g_{\mu }\bar{v}}{\partial z^{\lambda }}=\frac{\partial g_{\lambda \bar{v}}}{\partial z^{\mu }}\frac{\partial g_{\mu }\bar{v}}{\partial {\bar{z}}^{\lambda }}=\frac{\partial g_{\mu }\bar{\lambda }}{\partial {\bar{z}}^{\nu }}.\text{\hspace{1em}(8.82)}$$

设埃尔米特度量 $g$ 在坐标卡 $U_i$ 上由

$$g_{\mu \bar{v}}={\partial }_{\mu }{\partial }_{\bar{v}}{\mathcal{K}}_i\text{\hspace{1em}(8.83)}$$

给出，其中 ${\mathcal{K}}_i\in \mathcal{F}(U_i)$。显然该度量满足条件 (8.82)，因此它是凯勒度量。反之，可以证明任何凯勒度量都可局部表示为 (8.83)。函数 ${\mathcal{K}}_i$ 称为凯勒度量的凯勒势(Kähler potential)。由此可知，在 $U_i$ 上有 $\Omega =\mathrm{i}\partial \overline{\partial }{\mathcal{K}}_i$

设 $(U_i,{\phi }_i)$ 与 $(U_j,{\phi }_j)$ 为相互重叠的坐标卡。在 $U_i\cap U_j$ 上，我们有

$$\frac{\partial }{\partial z^{\mu }}\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}^{\nu }}{\mathcal{K}}_i\mathrm{d}{z}^{\mu }\otimes \mathrm{d}{\overline{z}}^{\nu }=\frac{\partial }{\partial w^{\alpha }}\frac{\partial }{\partial {\overline{w}}^{\beta }}{\mathcal{K}}_j\mathrm{d}{w}^{\alpha }\otimes \mathrm{d}{\overline{w}}^{\beta }$$

其中 $z={\phi }_i(p)$，$w={\phi }_j(p)$。于是可得

$$\frac{\partial w^{\alpha }}{\partial z^{\mu }}\frac{\partial {\bar{w}}^{\beta }}{\partial {\bar{z}}^{\nu }}\frac{\partial }{\partial w^{\alpha }}\frac{\partial }{\partial {\bar{w}}^{\beta }}{\mathcal{K}}_j=\frac{\partial }{\partial z^{\mu }}\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\nu }}{\mathcal{K}}_i.\text{\hspace{1em}(8.84)}$$

这当且仅当 ${\mathcal{K}}_j(w,\overline{w})={\mathcal{K}}_i(z,\overline{z})+{\varphi }_{ij}(z)+{\psi }_{ij}(\overline{z})$ 时成立，其中 ${\varphi }_{ij}$（$({\psi }_{ij})$）在 $z$ 中是全纯的（反全纯的）。

练习 8.8

设 $M$ 为无边界的紧凯勒流形。证明

$${\Omega }^m\equiv \underset{m}{\underbrace{\Omega \wedge \dots \wedge \Omega }}$$

是闭的但不是恰当的，其中 $m={\dim }_{\mathbb{C}}M$ [提示：利用斯托克斯定理。] 因此，第 2m 个贝蒂数不可能为零，即 $b^{2m}\ge 1$。我们将在后面看到，对 $1\le p\le m$ 有 $b^{2p}\ge 1$。

例 8.6

设 $M={\mathbb{C}}^m=\{(z^1,\dots ,z^m)\}$。通过映射 $z^{\mu }\to x^{\mu }+\mathrm{i}{y}^{\mu }$，${\mathbb{C}}^m$ 与 ${\mathbb{R}}^{2m}$ 等同起来。设 $\delta$ 为 ${\mathbb{R}}^{2m}$ 的欧几里得度量，

$$\delta \left(\frac{\partial }{\partial x^{\mu }},\frac{\partial }{\partial x^v}\right)=\delta \left(\frac{\partial }{\partial y^{\mu }},\frac{\partial }{\partial y^v}\right)={\delta }_{\mu v}\text{\hspace{1em}(8.85a)}$$

$$\delta \left(\frac{\partial }{\partial x^{\mu }},\frac{\partial }{\partial y^v}\right)=0.$$

注意到 $J\partial /\partial x^{\mu }=\partial /\partial y^{\mu }$ 以及 $J\partial /\partial y^{\mu }=-\partial /\partial x^{\mu }$，可知 $\delta$ 是一个埃尔米特度量。在复坐标下，有

$$\delta \left(\frac{\partial }{\partial z^{\mu }},\frac{\partial }{\partial z^{\nu }}\right)=\delta \left(\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\mu }},\frac{\partial }{\partial {\bar{z}}^{\nu }}\right)=0\text{\hspace{1em}(8.85b)}$$

$$\delta \left(\frac{\partial }{\partial z^{\mu }},\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}^v}\right)=\delta \left(\frac{\partial }{\partial {\overline{z}}^{\mu }},\frac{\partial }{\partial z^v}\right)=\frac{1}{2}{\delta }_{\mu v}.$$

凯勒形式由下式给出

$$\Omega =\frac{\mathrm{i}}{2}\sum _{\mu =1}^m\mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\bar{z}}^{\mu }=\frac{\mathrm{i}}{2}\sum _{\mu =1}^m\mathrm{d}{x}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{y}^{\mu }.\text{\hspace{1em}(8.86)}$$

显然 $\mathrm{d}\Omega =0$，于是可知 ${\mathbb{R}}^{2m}$ 的欧几里得度量 $\delta$ 是 ${\mathbb{C}}^m$ 的一个凯勒度量。凯勒势为

$$\mathcal{K}=\frac{1}{2}\sum z^{\mu }{\bar{z}}^{\mu }.\text{\hspace{1em}(8.87)}$$

凯勒流形 ${\mathbb{C}}^m$ 称为复欧几里得空间(complex Euclid space)。

例 8.7

任何满足 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=1$ 的可定向复流形 $M$ 都是凯勒的。取一个埃尔米特度量 $g$，其凯勒形式为 $\Omega$。由于 $\Omega$ 是2-形式，3-形式 $\mathrm{d}\Omega$ 在 $M$ 上必然为零。一维紧可定向复流形称为黎曼曲面(Riemann surface)。

例 8.8

复射影空间 ${\mathbb{CP}}^m$ 是凯勒流形。设 $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$ 是一个坐标卡，其非齐次坐标为 ${\phi }_{\alpha }(p)={\xi }_{(\alpha )}^{\nu }$（$\nu \ne \alpha$，见例 8.3）。为方便起见，引入更简洁的记号 $\{{\zeta }_{(\alpha )}^v|1\le \nu \le m\}$，其定义为

$${\xi }_{(\alpha )}^v={\zeta }_{(\alpha )}^v(\nu \le \alpha -1){\xi }_{(\alpha )}^{v+1}={\zeta }_{(\alpha )}^v(\nu \ge \alpha ).\text{\hspace{1em}(8.88)}$$

$\{{\zeta }_{(\alpha )}^{\nu }\}$ 只是 $\{{\xi }_{(\alpha )}^{\nu }\}$ 的重新命名。定义正定函数

$${\mathcal{K}}_{\alpha }(p)\equiv \sum _{\nu =1}^m{\left|{\zeta }_{(\alpha )}^{\nu }(p)\right|}^2+1=\sum _{\nu =1}^{m+1}{\left|\frac{z^{\nu }}{z^{\alpha }}\right|}^2.\text{\hspace{1em}(8.89)}$$

在点 $p\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ 处，${\mathcal{K}}_{\alpha }(p)$ 与 ${\mathcal{K}}_{\beta }(p)$ 的关系为

$${\mathcal{K}}_{\alpha }(p)={\left|\frac{z^{\beta }}{z^{\alpha }}\right|}^2{\mathcal{K}}_{\beta }(p).\text{\hspace{1em}(8.90)}$$

于是可得

$$\log {\mathcal{K}}_{\alpha }=\log {\mathcal{K}}_{\beta }+\log \frac{z^{\beta }}{z^{\alpha }}+\overline{\log \frac{z^{\beta }}{z^{\alpha }}}.\text{\hspace{1em}(8.91)}$$

由于 $z^{\beta }/z^{\alpha }$ 是全纯函数，故有 $\overline{\partial }\log z^{\beta }/z^{\alpha }=0$。此外

$$\partial \overline{\log z^{\beta }/z^{\alpha }}=\overline{\overline{\partial }\log z^{\beta }/z^{\alpha }}=0.$$

于是可得

$$\partial \bar{\partial }\log {\mathcal{K}}_{\alpha }=\partial \bar{\partial }\log {\mathcal{K}}_{\beta }.\text{\hspace{1em}(8.92)}$$

一个闭2-形式 $\Omega$ 局部地由下式定义：

$$\Omega \equiv \mathrm{i}\partial \bar{\partial }\log {\mathcal{K}}_{\alpha }.\text{\hspace{1em}(8.93)}$$

存在一个埃尔米特度量，其凯勒形式为 $\Omega$。取 $X,Y\in T_p{\mathbb{CP}}^n$，并由 $g(X,Y)=\Omega (X,JY)$ 定义 $g:T_p{\mathbb{CP}}^n\otimes T_p{\mathbb{CP}}^n\to \mathbb{R}$。为证明 $g$ 是埃尔米特度量，我们必须证明 $g$ 满足(8.50)且是正定的。埃尔米特性显然，因为 $g(JX,JY)=-\Omega (JX,Y)=\Omega (Y,JX)=g(X,Y)$。下面证明 $g$ 是正定的。在坐标卡 $(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })$ 上，我们得到

$$\Omega =\mathrm{i}\frac{{\partial }^2\log \mathcal{K}}{\partial {\zeta }^{\mu }\partial {\bar{\zeta }}^{\nu }}\mathrm{d}{\zeta }^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\bar{\zeta }}^{\nu }\text{\hspace{1em}(8.94)}$$

其中为简化记号，我们略去了下标 $(\alpha )$。若在 $U_{\alpha }$ 上把 (8.89) 的表达式代入 $\mathcal{K}$，则得到

$$\Omega =\mathrm{i}\sum _{\mu ,v}\frac{{\delta }_{\mu v}\left(\sum |{\zeta }^{\lambda }{|}^2+1\right)-{\zeta }^{\mu }{\overline{\zeta }}^v}{{\left(\sum |{\zeta }^{\lambda }{|}^2+1\right)}^2}\mathrm{d}{\zeta }^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\overline{\zeta }}^v.\text{\hspace{1em}(8.95)}$$

设 $X$ 为实向量，$X=X^{\mu }\partial /\partial {\zeta }^{\mu }+{\overline{X}}^{\mu }\partial /\partial {\overline{\zeta }}^{\mu }$，$JX=\mathrm{i}{X}^{\mu }\partial /\partial {\zeta }^{\mu }-\mathrm{i}{\overline{X}}^{\mu }\partial /\partial {\overline{\zeta }}^{\mu }$。则

$$\begin{array}{rl}g(X,X)& =\Omega (X,JX)=2\sum _{\mu ,\nu }\frac{{\delta }_{\mu \nu }(\sum |{\zeta }^{\lambda }{|}^2+1)-{\zeta }^{\mu }{\overline{\zeta }}^{\nu }}{(\sum |{\zeta }^{\lambda }{|}^2+1{)}^2}{X}^{\mu }{\overline{X}}^{\nu }\\ & =2\left[\sum _{\mu }|X^{\mu }{|}^2\left(\sum _{\lambda }|{\zeta }^{\lambda }{|}^2+1\right)-{\left|\sum _{\mu }{X}^{\mu }{\zeta }^{\mu }\right|}^2\right]{\left(\sum _{\lambda }|{\zeta }^{\lambda }{|}^2+1\right)}^{-2}.\end{array}$$

由柯西–施瓦茨不等式 ${\sum }_{\mu }|X^{\mu }{|}^2\cdot {\sum }_{\lambda }|{\zeta }^{\lambda }{|}^2\ge {\sum }_{\mu }|X^{\mu }{\zeta }^{\mu }{|}^2$ 可知，度量 $g$ 是正定的。这个度量称为 ${\mathbb{CP}}^n$ 的富比尼–施图迪度量(Fubini-Study metric)。

几个有用的事实如下：

(a) $S^2$ 是唯一容许复结构的球面。由于 $S^2\simeq {\mathbb{CP}}^1$，它是凯勒流形。
(b) 两个奇数维球面的乘积 $S^{2m+1}\times S^{2n+1}$ 总容许复结构。但这种复结构不容许凯勒度量。
(c) 凯勒流形的任何复子流形都是凯勒流形。

8.5.2 凯勒几何

凯勒度量 $g$ 的特征由 (8.82) 给出：

$$\frac{\partial g_{\mu }\overline{v}}{\partial z^{\lambda }}=\frac{\partial g_{\lambda }\overline{v}}{\partial z^{\mu }}\frac{\partial g_{\mu }\overline{v}}{\partial {\overline{z}}^{\lambda }}=\frac{\partial g_{\mu }\overline{\lambda }}{\partial {\overline{z}}^v}.$$

这保证了凯勒度量是无挠的：

$$T_{\mu \nu }^{\lambda }=g^{\overline{\xi }\lambda }\left({\partial }_{\mu }{g}_{\nu \overline{\xi }}-{\partial }_{\nu }{g}_{\mu \overline{\xi }}\right)=0\text{\hspace{1em}(8.96a)}$$

$$T^{{\overline{\lambda }}_{\overline{\mu v}}}=g^{\overline{\lambda }\xi }\left({\partial }_{\overline{\mu }}{g}_{\overline{v}\xi }-{\partial }_{\overline{v}}{g}_{\overline{\mu }\xi }\right)=0.\text{\hspace{1em}(8.96b)}$$

在这个意义上，凯勒度量所定义的联络与列维-奇维塔联络非常相似。此时黎曼曲率张量多出一个对称性

$$R_{\lambda \mu \bar{v}}^{\kappa }=-{\partial }_{\bar{v}}\left(g^{\bar{\xi }\kappa }{\partial }_{\mu }{g}_{\lambda \bar{\xi }}\right)=-{\partial }_{\bar{v}}\left(g^{\bar{\xi }\kappa }{\partial }_{\lambda }{g}_{\mu \bar{\xi }}\right)=R_{\mu \lambda \bar{v}}^{\kappa }\text{\hspace{1em}(8.97)}$$

以及由 (8.97) 经已知的对称操作所得到的那些关系，

$$R_{\bar{\lambda }\bar{\mu }v}^{\overline{\kappa }}=R_{\bar{\mu }\bar{\lambda }v}^{\overline{\kappa }},R_{\lambda \bar{\mu }v}^{\kappa }=R_{v\bar{\mu }\lambda }^{\kappa },R_{\bar{\lambda }\mu \bar{v}}^{\overline{\kappa }}=R_{\bar{v}\mu \bar{\lambda }}^{\overline{\kappa }}.\text{\hspace{1em}(8.98)}$$

与前面一样，里奇形式 $\Re$ 定义为

$$\mathfrak{R}=-\mathrm{i}{\partial }_{\overline{V}}{\partial }_{\mu }\log G\mathrm{d}{z}^{\mu }\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^{\nu }.$$

由(8.97)可知，里奇形式的各分量与 $Ri{c}_{\mu \overline{v}};{\Re }_{\mu \overline{v}}\equiv R_{\kappa \mu \overline{v}}^{\kappa }=R_{\mu \kappa \overline{v}}^{\kappa }=Ri{c}_{\mu \overline{v}}$ 一致。若 $Ric=\Re =0$，则称该凯勒度量是里奇平坦(Ricci flat)的。

定理 8.6

设 $(M,g)$ 为凯勒流形。若 $M$ 上容许一个里奇平坦度量 $h$，则其第一陈类必定为零。

证明

由假设，对度量 $h$ 有 $\Re =0$。如上一节所示，$\Re (g)-\Re (h)=\Re (g)=\mathrm{d}\omega$。因此，由 $g$ 算出的 $c_1(M)$ 与由 $h$ 算出的 $c_1(M)$ 相同，从而为零。

第一陈类为零的紧凯勒流形称为卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)。卡拉比（Calabi，1957）猜测：若 $c_1(M)=0$，则凯勒流形 $M$ 上容许一个里奇平坦度量。这一点由丘成桐（Yau，1977）证明。满足 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=3$ 的卡拉比-丘流形已被提名为超弦紧化的候选对象（见 Horowitz（1986）与 Candelas（1988））。

8.5.3 凯勒流形的和乐群

在结束本节之前，我们简要考察凯勒流形的和乐群。设 $(M,g)$ 是满足 ${\dim }_{\mathbb{C}}M=m$ 的埃尔米特流形。取向量 $X\in T_p{M}^{+}$，沿 $p$ 处的环路 $c$ 作平行移动，最终得到向量 $X^{\prime }\in T_p{M}^{+}$，其中 $X^{\prime \mu }=X^{\mu }{h}_{\nu }^{\mu }$。注意，$\nabla$ 不会把全纯指数与反全纯指数混在一起，因此 $X^{\prime }$ 在 $T_p{M}^{-}$ 中没有分量。此外，$\nabla$ 保持向量的长度。这些事实告诉我们，$(h_{\mu }^{\nu }(c))$ 包含于 $\mathrm{U}(m)\subset \mathrm{O}(2m)$ 之中。

定理 8.7

若 $g$ 是 $m$ 维卡拉比-丘流形 $M$ 上的里奇平坦度量，则其和乐群包含于 $\mathrm{SU}(m)$ 之中。

证明

我们的证明只是粗略的。若将 $X=X^{\mu }\partial /\partial z^{\mu }\in T_p{M}^{+}$ 沿图 8.5中的小平行四边形作平行移动并回到 $p$，便得到 $X^{\prime }\in T_p{M}^{+}$，其分量为（参见(7.44)）

图 8.5. $X\in T_p{M}^{+}$ 沿 $pQRS$ 作平行移动，返回时成为向量 $X^{\prime }\in T_p{M}^{+}$。

$$X^{\prime \mu }=X^{\mu }+X^v{R}_{v\kappa \bar{\lambda }}^{\mu }{\epsilon }^{\kappa }{\bar{\delta }}^{\lambda }\text{\hspace{1em}(8.99)}$$

由此可得

$$h_{\mu }^v={\delta }_{\mu }^v+R_{\mu \kappa \bar{\lambda }}^v{\epsilon }^{\kappa }{\bar{\delta }}^{\lambda }.\text{\hspace{1em}(8.100)}$$

$\mathrm{U}(m)$ 在单位元附近可分解为 $\mathrm{U}(m)=\mathrm{SU}(m)\times \mathrm{U}(1)$。特别地，李代数 $\mathfrak{u}(m)=T_e(\mathrm{U}(m))$ 被分解为

$$\mathfrak{u}(m)=\mathfrak{su}(m)\oplus \mathfrak{u}(1).\text{\hspace{1em}(8.101)}$$

$\mathfrak{su}(m)$ 是 $\mathfrak{u}(m)$ 的无迹部分，而 $\mathfrak{u}(1)$ 则包含迹。由于当前的度量是里奇平坦的，$\mathfrak{u}(1)$ 部分为零，

$$R_{\kappa \mu \overline{v}}^{\kappa }{\epsilon }^{\mu }{\overline{\delta }}^{\nu }={\Re }_{\mu \overline{v}}{\epsilon }^{\mu }{\overline{\delta }}^{\nu }=0.$$

这表明和乐群包含于 $\mathrm{SU}(m)$ 之中。[注：严格说来，我们只证明了限制和乐群包含于 $\mathrm{SU}(m)$ 之中。即使 $M$ 是多连通的，这一结论仍然成立。]

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