B.14 第29章至第31章

问题 1：

证明：对于向量 $v \in R^{n}$ 与 $ϵ_{j k}$ ，即 $so (n)$ 中对应于 jk 平面内无穷小旋转的基元素，有

e^{- \frac{θ}{2} γ_{j} γ_{k}} γ (v) e^{\frac{θ}{2} γ_{j} γ_{k}} = γ (e^{θ ϵ_{j k}} v)

和

[- \frac{1}{2} γ_{j} γ_{k}, γ (v)] = γ (ϵ_{j k} v)

问题2：

证明费米子积分的下述变量替换公式

\int F (ξ) d ξ_{1} d ξ_{2} \dots d ξ_{n} = \frac{1}{det A} \int F (A ξ^{'}) d ξ_{1}^{'} d ξ_{2}^{'} \dots d ξ_{n}^{'}

其中 $ξ = A ξ^{'}, i.e.$

ξ_{j} = k = 1 \sum n A_{j k} ξ_{k}^{'}

对于任意可逆矩阵 $A$ ，其元素为 $A_{j k}$

对于一个反对称矩阵 $A$ ，且 $n$ = 2d 为偶数，证明可以计算高斯积分的费米子版本为

\int e^{\frac{1}{2} \sum_{j, k = 1}^{n} A_{j k} ξ_{j} ξ_{k}} d ξ_{1} d ξ_{2} \dots d ξ_{n} = P f (A)

其中

P f (A) = \frac{1}{d ! 2 ^{d}} σ \sum (- 1)^{∣ σ ∣} A_{σ (1) σ (2)} A_{σ (3) σ (4)} \dots A_{σ (n - 1) σ (n)}

这里的求和是对 $n$ 个指标的所有置换 $σ$ 进行的。 $P f (A)$ 称为矩阵 $A$ 的普法夫式。

对于维数 $n = 2 d .$ 中旋量表示的费米子振子构造，以粒子数算符 $N_{F} = \sum_{j = 1}^{d} a_{F}^{†}_{j} a_{F j}$ 定义

Γ = e^{iπ N_{F}}

证明

Γ = j = 1 \prod d (1 - 2 a_{F j}^{†} a_{F j})

Γ = c γ_{1} γ_{2} \dots γ_{2 d}

对于某个常数 $c$ 。计算 $c$ 。

对于所有 $j$ 。

γ_{j} Γ + Γ γ_{j} = 0

Γ^{2} = 1

P_{\pm} = \frac{1}{2} (1 \pm Γ)

是到 $H_{F}$ 的子空间 $H^{+}$ 和 $ϰ^{-}$ 上的投影算符。

• 证明 $H^{+}$ 与 $ϰ^{-}$ 各自分别构成自旋 $n$ 的表示（即表示算符与 $P_{\pm})$ 对易）。

使用Bargmann-Fock的费米子类比构造旋量，以及内积31.3，证明算符 $a_{F j}$ 和 $a_{F_{j}} †$ 关于该内积互为伴随。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 537、538、539、540、541、542、543、544、545、546、547、548、549、550、551、552、553、554、555、556

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：7f317d1896fa748af4cb9570310ed7801a8bef7ef97dd5d1d2ea35f0099d5952

译稿产物 SHA-256：990cbfa689456f304078547957a949f29a27c8ecb8b9969826d93f3e363e800f

机翻模型：deepseek-v4.1-flash