B.13 第27章和第28章

B.13 第27章和第28章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 不可约表示

问题 1：

考虑费米子振子，对于 $d=3$ 个自由度，其哈密顿算子为

$$H=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^3(a_{Fj}^{†}{a}_{Fj}-a_{Fj}{a}_{Fj}^{†})$$

• 使用费米子湮灭算符和产生算符，在费米子态空间 ${\mathcal{H}}_F$ 上构造李代数 $\mathfrak{u}(3)=\mathfrak{u}(1)+\mathfrak{su}(3)$ 的一个表示。su $.(3)$ 的哪些不可约表示出现在这个态空间中？选取 $\mathfrak{u}(3)$ 的一个基 $X_j$，并为你找到的每个不可约表示选取基，对于每个这样的不可约表示，表示矩阵（对每个 $X_j)$ 而言）是什么？

• 考虑实正交矩阵的子群 $SO(3)\subset U(3)$，以及通过上述表示的限制得到的 $\mathfrak{so}(3)$ 在 ${\mathcal{H}}_F$ 上的李代数表示。态空间中会出现 $SO(3)$ 的哪些不可约表示？

问题2：

证明，作为$C$上的代数，

$\mathrm{Cliff}(2d,\mathbf{C})$ 同构于 $M(2^d,\mathbf{C})$

$\mathrm{Cliff}(2d+1,\mathbf{C})$ 同构于 $M(2^d,\mathbf{C})\oplus M(2^d,\mathbf{C})$

上一节: B.12 第24章至第26章 · 下一节: B.14 第29章至第31章 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 537、538、539、540、541、542、543、544、545、546、547、548、549、550、551、552、553、554、555、556

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：7f317d1896fa748af4cb9570310ed7801a8bef7ef97dd5d1d2ea35f0099d5952

译稿产物 SHA-256：990cbfa689456f304078547957a949f29a27c8ecb8b9969826d93f3e363e800f

机翻模型：deepseek-v4.1-flash