B.20 第45章和第46章

B.20 第45章和第46章

问题 1：

证明杨-米尔斯方程（46.9 和 46.11）是杨-米尔斯哈密顿算子 46.10 的哈密顿方程。

问题2：

证明矩阵 $P_{\perp }$ 的元素为

$$(P_{\perp }{)}_{jk}={\delta }_{jk}-\frac{p_j{p}_k}{|\mathbf{p}{|}^2}$$

它通过向垂直于 $p$ 的平面作正交投影，作用于 ${\mathbf{R}}^3$ 中的动量向量。用这一点解释为什么在库仑规范中预期会得到方程 46.18 的对易关系（动量空间中的条件 $\nabla \nabla \cdot \mathbf{A}=0$ 表明矢势垂直于动量）。

问题3：

证明群 $SO(2)$ 通过以下方式作用在麦克斯韦方程组的解空间上：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{E}(\mathbf{x})& \to \cos \theta \mathbf{E}(\mathbf{x})+\sin \theta \mathbf{B}(\mathbf{x})\\ \mathbf{B}(\mathbf{x})& \to -\sin \theta \mathbf{E}(\mathbf{x})+\cos \theta \mathbf{B}(\mathbf{x})\end{array}$$

对于$\theta =\frac{\pi }{2}$，该对称性交换$E$场与$B$场，被称为电磁对偶。一个困难得多的问题是确定作用在态上的相应算符是什么（结果是螺旋度算符）。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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