B.19 第43章和第44章

B.19 第43章和第44章

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 李代数 · 荷算符

问题 1：

证明：假设标准泊松括号

$$\{\varphi (\mathbf{x}),\pi ({\mathbf{x}}^{\prime })\}=\delta (\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }),\{\varphi (\mathbf{x}),\varphi ({\mathbf{x}}^{\prime })\}=\{\pi (\mathbf{x}),\pi ({\mathbf{x}}^{\prime })\}=0$$

哈密顿算子的哈密顿方程

$$h={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\frac{1}{2}({\pi }^2+(\nabla \varphi {)}^2+m^2{\varphi }^2)d^3\mathbf{x}$$

等价于经典场 $\varphi$ 的克莱因-戈尔登方程

问题2：

在44.1.2节中，我们研究了具有$U(1)$对称性的相对论性复标量场理论，并找到了给出$U(1)$的李代数在该理论状态空间上作用的荷算符$\hat{Q}$。

• 证明电荷算符 $\hat{Q}$ 与场具有以下对易子

$$[\hat{Q},\hat{\varphi }]=-\hat{\varphi },[\hat{Q},{\hat{\varphi }}^{†}]={\hat{\varphi }}^{†}$$

因此，$\hat{\varphi }$ 作用于电荷特征态会使电荷特征值减少 1，而 ${\hat{\varphi }}^{†}$ 则使电荷特征值增加 1。

• 考虑两个全同复标量场的理论，并证明该理论具有 $U(2)$ 对称性。用 $U(2)$ 的李代数的一组基，求出给出该对称性在态空间上的李代数作用的四个算符。

注意，这是标准模型希格斯部分的域内容和对称性（区别在于该理论不是自由的，而是相互作用的，并且其最低能量态在对称性下不是不变的）。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash