46.5 时空对称性

46.5 时空对称性

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李代数表示 · 酉表示 · 群在集合上的作用

库仑规范的选择很好地分离了描述光子的两个物理自由度，并允许用先前研究过的相对论标量场的两份副本来直接进行量子化。然而，它这样做的方式使得庞加莱e群作用在该理论上的某些方面难以理解，特别是推动变换的作用。我们为麦克斯韦方程解空间选择的连续基元素在推动变换下并非不变（因为它使用了固定时刻的初始数据，见方程46.5），但作出规范选择$A_0=0,\nabla \cdot \mathbf{A}=0$又会产生另一个根本问题。对一个处于该规范下的解施加推动变换，通常会使它变为一个不再满足规范条件的解。

为了对非洛伦兹不变的库仑规范选择所带来的困难有所了解，可以计算域对易子，结果为

$$[{\hat{A}}_j(\mathbf{x}),{\hat{A}}_k({\mathbf{x}}^{\prime })]=[{\hat{E}}_j(\mathbf{x}),{\hat{E}}_k({\mathbf{x}}^{\prime })]=0$$

$$[{\hat{A}}_j(\mathbf{x}),{\hat{E}}_k({\mathbf{x}}^{\prime })]=-\frac{i}{(2\pi {)}^3}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\left({\delta }_{jk}-\frac{p_j{p}_k}{|\mathbf{p}{|}^2}\right)e^{i\mathbf{p}\cdot (\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })}{d}^3\mathbf{p}\text{\hspace{1em}(46.18)}$$

最后一种情形中的右侧不只是预期的 delta 函数，还包含一个在位置空间中非局域的项。

在第46.6节中，我们将讨论洛伦兹不变规范选择会发生什么，但目前只考虑时空平移与空间旋转的庞加莱e子群，它们确实保持库仑规范选择。这样的群元素可以用$(a,R)$标记，其中$\mathbf{a}=\left(a_0,\mathbf{a}\right)$是时空中的平移，而$R\in SO(3)$是空间旋转。推广标量场情形（方程44.6），我们希望用状态空间上的算符$U(\mathbf{a},R)$构造这类元素群的酉表示，其中$U(\mathbf{a},R)$还作为场算符上的交织算符作用，通过：

$$\hat{\mathbf{A}}(t,\mathbf{x})\to U(a,R)\hat{\mathbf{A}}(t,\mathbf{x})U^{-1}(a,R)=R^{-1}\hat{\mathbf{A}}(t+a_0,R\mathbf{x}+\mathbf{a})\text{\hspace{1em}(46.19)}$$

为构造$U(a,R)$，我们将如标量场情形那样进行（见44.2节），以确定满足所需对易关系的李代数表示算符，并略去一些细节（这些细节可在大多数量子场论教科书中找到）。

46.5.1 时间平移

对于时间平移，照例只需找到哈密顿算子$\hat{H}.$，然后

$$U(a_0,1)=e^{i{a}_0\hat{H}}$$

取

$$\begin{array}{rl}\hat{H}& =\frac{1}{2}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}:(|\hat{\mathbf{E}}{|}^2+|\hat{\mathbf{B}}{|}^2):d^3\mathbf{x}=\frac{1}{2}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}:\left(|\frac{\partial \hat{\mathbf{A}}}{\partial t}{|}^2+|\nabla \times \hat{\mathbf{A}}{|}^2\right):d^3\mathbf{x}\\ & ={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\omega }_{\mathbf{p}}(a_1^{†}(\mathbf{p})a_1(\mathbf{p})+a_2^{†}(\mathbf{p})a_2(\mathbf{p}))d^3\mathbf{p}\end{array}$$

可以证明，利用方程46.17、46.18以及极化向量${ϵ}_j(\mathbf{p})$的性质，可得所需结果

$$\frac{\partial \hat{\mathbf{A}}}{\partial t}=[\hat{\mathbf{A}},-i\hat{H}]$$ $$\frac{\partial }{\partial t}(a_{\sigma }(\mathbf{p})e^{-i{\omega }_{\mathbf{p}}t}{)}_{|t=0}=-i{\omega }_{\mathbf{p}}{a}_{\sigma }(\mathbf{p})=[a_{\sigma }(\mathbf{p}),-i\hat{H}]$$

其中第一个使用以域表示的位置空间表达式，第二个使用以湮灭算符和产生算符表示的动量空间表达式。

46.5.2 空间平移

对于空间平移，我们有

$$U(\mathbf{a},1)=e^{-i\mathbf{a}\cdot \hat{\mathbf{P}}}$$

其中 $\hat{\mathbf{P}}$ 是动量算符。它具有动量空间表达式

$$\hat{\mathbf{P}}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\mathbf{p}(a_1^{†}(\mathbf{p})a_1(\mathbf{p})+a_2^{†}(\mathbf{p})a_2(\mathbf{p}))d^3\mathbf{p}$$

其满足

$$\nabla (a_{\sigma }(\mathbf{p})e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}})=i\mathbf{p}{a}_{\sigma }(\mathbf{p})e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}=[-i\hat{\mathbf{P}},a_{\sigma }(\mathbf{p})e^{i\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}}]$$

就位置空间域而言，有

$$\hat{\mathbf{P}}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}:\hat{\mathbf{E}}\times \hat{\mathbf{B}}:d^3\mathbf{x}$$

满足

$$\nabla {\hat{A}}_j=[-i\hat{\mathbf{P}},{\hat{A}}_j]$$

推导这一点的一种方法是利用以下事实：对于经典理论，

$${\mathbf{P}}_{EM}={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\mathbf{E}\times \mathbf{B}{d}^3\mathbf{x}$$

是电磁场的动量，因为可以使用泊松括号关系46.7来证明

$$\{{\mathbf{P}}_{EM},A_j(\mathbf{x})\}=\nabla A_j(\mathbf{x})$$

46.5.3 旋转

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 群表示 · 复化

我们将不进行为电磁场构造角动量算子Jb的练习，该算子给出旋转对理论的作用。关于如何做到这一点的细节，例如可在[35]的第6章和第7章中找到。情况类似于第34.2节中自旋$\frac{1}{2}$泡利方程的情形。在那里我们发现$\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$，其中第一项是“轨道”角动量，源于旋转对空间的作用，而$S$则是$SU(2)$作用在二分量旋量上的无穷小对应物。

在这种情况下也会发生大致相同的事情：$L$ 来自对空间坐标 $x$ 的作用，而 $S$ 来自 $SO(3)$ 旋转对向量 $A$ 的 3 个分量的作用（见方程 46.19）。我们已经看到，在库仑规范中，域 $\hat{\mathbf{A}}(\mathbf{x})$ 分解为两份行为很像标量克莱因-戈尔登理论的域，对应于垂直于向量 $p$ 的平面中的两个基向量 ${ϵ}_1(\mathbf{p}),{ϵ}_2(\mathbf{p})$。关于轴 $p$ 的旋转子群 $SO(2)\subset SO(3)$ 对该平面及其基向量的作用方式，与内部 $SO(2)$ 对称性对成对实克莱因-戈尔登域的作用方式完全相同（见 44.1.1 节）。在那种情况下，同一个 $SO(2)$ 在时空中的每一点都以相同方式作用，而在这里，这个 $SO(2)\subset SO(3)$ 会根据动量向量而变化。

在内对称情形中，我们找到了一个具有整数特征值的算符$\hat{Q}$（即电荷）。此情形中类似的算符是螺旋度算符。第42.3.5节所描述的无质量庞加莱e群表示正是此处出现的表示，对应于螺旋度为±1的情形。正如在内对称情形中，复化使得$\hat{Q}$可以在单粒子空间上对角化，从而得到电荷±1，这里${ϵ}_1(\mathbf{p}),{ϵ}_2(\mathbf{p})$的复化使螺旋度对角化，得到所谓的“左旋圆偏振”和“右旋圆偏振”光子态。

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来源版本：2025-10-20

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