2.3 电荷算符

回忆第1章中关于一条一般原理的断言：当状态空间 $H$ 是李群的酉表示时，我们得到 $H$ 上的一个伴随自伴算符。现在我们将对 $G = U (1)$ 这一简单情形加以说明，其中我们所构造的自伴算符将称为电荷算符，并记作 $Q .$

如果 $U (1)$ 在 $H$ 上的表示是不可约的，那么由定理 2.2，它必须是一维的，且 $H = C$ 。由定理 2.3，它必须具有形式 $(π_{q}, C)$ ，其中 $q \in Z$ 为某个值。在这种情况下，自伴算符 $Q$ 是将 $H$ 的元素乘以整数 $q .$ 。注意，对 $q$ 的整性条件是必要的，因为对 $θ,$ 有周期性条件，这对应于我们处理的是群 $U (1)$ 而不是群 $R$ 这一事实。

对于一般的 $U (1)$ 表示，根据定理2.1和2.3，我们有

H = H_{q_{1}} \oplus H_{q_{2}} \oplus \dots \oplus H_{q_{n}}

对于某个整数集合 $q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}$ （ $n$ 是 $H,$ 的维数， $q_{j}$ 可以不必互异），其中 $H_{q_{j}}$ 是 $C$ 的一个副本， $U (1)$ 通过 $π_{q_{j}}$ 表示作用。于是可以定义

定义 · 荷算符

对于 $U (1)$ 表示 $(π, H)$ 的电荷算符 $Q$ ，是 $H$ 上的自伴线性算符，它在不可约子表示 $H_{q_{j}}$ 上通过乘以 $q_{j}$ 作用。取 $H_{q_{j}}$ 中的基元素，它在 $H$ 上作为矩阵作用

$Q = q_{1} 0 \dots 0 0 q_{2} 0 \dots \dots \dots 00 \dots q_{n}$

将 $H$ 视为一个量子力学态空间， $Q$ 是我们的第一个量子力学可观测量示例，即 $H .$ 上的一个自伴算符。子空间 $H_{q_{j}}$ 中的态将是 $Q$ 的特征向量，并且对于该可观测量具有一个明确定义的数值，即整数 $q_{j}$ 。一般态将是来自不同 $H_{q_{j}}$ 的态向量的线性叠加，并且对于这样的态，可观测量 $Q$ 不会有一个明确定义的数值。

该表示可由 $Q$ 在 $H,$ 上的作用恢复，其中群 $U (1)$ 在 $H$ 上的作用由乘以 $i$ 并取指数给出，从而得到

π (e^{i θ}) = e^{i Qθ} = e^{i q_{1} θ} 0 \dots 0 0 e^{i q_{2} θ} 0 \dots \dots \dots 00 \dots e^{i q_{n} θ} \in U (n) \subset G L (n, C)

标准的物理学述语是“ $Q$ 是状态空间 $H$ 上通过酉变换实现的 $U (1)$ 作用的生成元”。

一般的抽象数学观点（我们将在第5章中更详细地讨论）是，表示 $π$ 是流形之间的映射，从李群 $U (1)$ 到李群 $G L (n, C)$ ，它将 $U (1)$ 的单位元映到 $G L (n, C)$ 的单位元。因此，它有一个微分 $π^{'}$ ，这是一个从 $U (1)$ 单位元处的切空间（这里即 $i R$ ）到 $G L (n, C)$ 单位元处的切空间（即 $n$ 乘 $n$ 复矩阵的空间 $M (n, C)$ ）的线性映射。李群单位元处的切空间称为“李代数”。在后续章节中，我们将研究许多此类李代数和此类映射 $π^{'}$ 的不同例子，其中线性映射 $π^{'}$ 常常确定表示 $π .$

在 $U (1)$ 情形下， $π$ 的微分与算符 $Q$ 之间的关系是

π^{'} : i θ \in i R \to π^{'} (i θ) = i Qθ

下图说明了这一情形：

Figure 2.2 图 2.2：表示 $π : U (1) \to U (n)$ 及其微分的示意图。

图片右侧的球面图形意在表示空间 $U (n) \subset G L (n, C) (G L (n, C)$ 是 $n$ 乘 $n$ 复矩阵 $C^{n^{2}}$ ，减去行列式为零的矩阵轨迹，即那些不可逆的矩阵）。它有一个特殊点，即单位元。表示 $π$ 将圆 $U (1)$ 映到 $U (n)$ 内的一个圆。其导数 $π^{'}$ 是一个线性映射，将单位元处圆的切空间 $i R$ 映到单位元处 $U (n)$ 的切空间中的一条直线。

在极其简单的例子 $G = U (1)$ 中，这种抽象图景是小题大做，而且很可能令人困惑。不过我们将会看到，同样的图景在后续章节中许多其他复杂得多的例子里也会出现。正如在这个 $U (1)$ 情形中一样，对于有限维表示，线性映射 $π^{'}$ 将是矩阵，而表示矩阵 $π$ 可以通过对 $π^{'}$ 取指数来得到

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 19、20、21

来源版本：2025-10-20

数学物理阅读

书架

2.3 电荷算符