4.5 伴随算符

对照

当 $V$ 是带内积的向量空间时，$L$ 的伴随可由下式定义：

定义 · 伴随算符

定义（伴随算符）。线性算符$L:V\to V$的伴随是满足以下条件的算符$L^{†}$

$$⟨Lv,w⟩=⟨v,L^{†}w⟩$$

对于所有 $v,w\in V$。

注意，数学家倾向于使用 $L^{\ast }$ 作为 $L,$ 的伴随的记号，而不是我们正在使用的物理学家的记号 $L^{†}$。

就显式矩阵而言，由于$l_{Lv}$是$Lv$的共轭转置，$L^{†}$的矩阵将由$L$的矩阵的共轭转置$\overline{L^T}$给出：

$$L_{jk}^{†}=\overline{L_{kj}}$$

在实情形下，伴随的矩阵就是转置矩阵。若 $L^{†}=L$ ，则称线性变换为自伴的；若 $L^{†}=-L$ ，则称为斜伴随的。

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上一节：4.4 内积 · 下一节：4.6 正交变换与酉变换

附录：约定与记号

来源与版本

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来源版本：2025-10-20