14.1 经典力学与泊松括号

14.1 经典力学与泊松括号

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 李括号

在哈密顿形式体系的经典力学中，将位置与相应的动量放在一起所得到的空间$M={\mathbf{R}}^{2d}$被称为“相空间”。相空间中的点可以被视为唯一地参数化经典轨迹的可能初始条件，因此相空间的另一种解释是，它是唯一地参数化给定经典力学系统运动方程解的空间。哈密顿力学的基本公理可以用与量子力学公理相平行的方式陈述。

公理（状态）

经典力学系统的状态 $of$ 由相空间 $M={\mathbf{R}}^{2d}$ 中的一个点给出，其坐标为 $q_j,p_j,forj=1,\dots ,d.$

公理（可观测量）

经典力学系统的可观测量是相空间上的函数。

公理（动力学）

存在一个特殊的可观测量，即哈密顿函数 $h,$，并且状态按照哈密顿方程演化

$${\dot{q}}_j=\frac{\partial h}{\partial p_j}$$ $${\dot{p}}_j=-\frac{\partial h}{\partial q_j}$$

特化到 $d=1$ 的情形，对任意可观测量函数 $f,$ ，哈密顿方程意味着

$$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{dq}{dt}+\frac{\partial f}{\partial p}\frac{dp}{dt}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial h}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial h}{\partial q}$$

我们可以定义：

定义（泊松括号）

在相空间 $\dot{M}={\mathbf{R}}^2$（其坐标为 $(q,p),$）上的函数之间存在一个双线性运算，称为泊松括号，由 $by$ 给出

$$(f_1,f_2)\to \{f_1,f_2\}=\frac{\partial f_1}{\partial q}\frac{\partial f_2}{\partial p}-\frac{\partial f_1}{\partial p}\frac{\partial f_2}{\partial q}$$

一个可观测量$f$随时间演化，遵循

$$\frac{df}{dt}=\{f,h\}$$

该关系等价于哈密顿方程，因为取$f=q$和$f=p$即可由它推出这些方程。

$$\dot{q}=\{q,h\}=\frac{\partial h}{\partial p}$$ $$\dot{p}=\{p,h\}=-\frac{\partial h}{\partial q}$$

对于非相对论性自由粒子，$\begin{array}{r}h=\frac{p^2}{2m}\end{array}$，这些方程变为

$$\dot{q}=\frac{p}{m},\dot{p}=0$$

即动量等于质量乘以速度，并且是守恒的。对于受势 $V(q)$ 作用的粒子，有

$$h=\frac{p^2}{2m}+V(q)$$

而轨迹则是下列方程的解

$$\dot{q}=\frac{p}{m},\dot{p}=-\frac{\partial V}{\partial q}$$

这加入了牛顿第二定律

$$F=-\frac{\partial V}{\partial q}=ma=m\ddot{q}$$

关于动量与速度之间的关系。

人们可以很容易地验证，泊松括号具有以下性质

• 反对称性

$$\{f_1,f_2\}=-\{f_2,f_1\}$$

• 雅可比恒等式

$$\{\{f_1,f_2\},f_3\}+\{\{f_3,f_1\},f_2\}+\{\{f_2,f_3\},f_1\}=0$$

这两条性质与双线性一起表明，泊松括号符合李括号的定义，从而使相空间上的函数空间成为一个无限维李代数。这个李代数决定了哈密顿力学这一学科的大部分结构，并且在历史上是最早被研究的一类李代数。

从基本动力学方程

$$\frac{df}{dt}=\{f,h\}$$

我们看到

$$\{f,h\}=0⟹\frac{df}{dt}=0$$

在这种情况下，函数$f$被称为a“守恒量”，因为它在时间演化下不发生变化。注意，如果我们在相空间上有两个函数$f_1$和$f_2$，使得

$$\{f_1,h\}=0,\{f_2,h\}=0$$

然后利用雅可比恒等式，我们有

$$\{\{f_1,f_2\},h\}=-\{\{h,f_1\},f_2\}-\{\{f_2,h\},f_1\}=0$$

这表明，如果 $f_1$ 和 $f_2$ 是守恒量，那么 $\{f_1,f_2\}$ 也是守恒量。因此，满足 $\{f,h\}=0$ 的函数 $f$ 构成一个李代数。正是这个李子代数对应于物理的“对称性”，它与由 $h$ 给出的动力学定律所确定的时间平移对易。

本章首页 · 下一节：14.2 泊松括号与海森堡李代数 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 163、164、165、166、167、168、169、170

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：84364ae4944d6847e7cb27e08e34493d69437ab15ce67fcfb8f6006b5cbf5f65

译稿产物 SHA-256：46d737a2371bc117a7fc0e7e154cb2931140d1f3b2663f8e2fe5af5035e11c68

机翻模型：deepseek-v4.1-flash