李代数 / Lie algebra

Szekeres · §6.5 李代数与李群

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一个李代数(Lie algebra)是一个实或复向量空间，带有一种复合律或括号积(bracket product) $[X,Y]$，满足

(LA1) $[X,Y]=-[Y,X](\mathrm{antisymmetry})$.

(LA2) $[X,aY+bZ]=a[X,Y]+b[X,Z]$（分配律）。

(LA3) $[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$（雅可比恒等式）。

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原文位置：§6.5；PDF 页 19；印刷页 167

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Szekeres · §19.1 李群

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若 $X$ 和 $Y$ 是李群 $G$ 上的左不变向量场，则由引理 19.1 可得

$$L_{g\ast }[X,Y]=[X,Y].\text{\hspace{1em}(19.2)}$$

因此，向量空间 $\mathcal{G}$ 构成一个 $n$ 维李代数，称为 李群的李代数(Lie algebra of a Lie group) $G.$。由于 $\mathcal{G}$ 与 $T_e(G)$ 之间存在一一对应，对任意一对 $A$、$B\in T_e(G)$ 写出 $[A,B]$ 是有意义的，而李代数结构可以视为施加在单位元处的切空间 $e.$ 上。

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原文位置：§19.1；PDF 页 3；印刷页 561

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Woit · §5.1 Lie algebras

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定义（李代数）。对于 $G$ 是一个由 $n$ 乘 $n$ 可逆矩阵构成的李群，$G$ 的 李代数（记作 $Lie(G)$ 或 $\mathfrak{g}$）是满足对 $t\in \mathbf{R}$ 有 $e^{tX}\in G$ 的 $n$ 乘 $n$ 矩阵 $X$ 构成的空间。

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原文位置：§5.1；PDF 页 65；印刷页 48

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Woit · §5.4 Lie algebra representations

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定义（抽象李代数）。域 $k$ 上的一个 抽象李代数 是 $k$ 上的一个向量空间 $A$，带有一个双线性运算

$$[\cdot ,\cdot ]:(X,Y)\in A\times A\to [X,Y]\in A$$

满足

1. 反对称性：

$$[X,Y]=-[Y,X]$$

2. 雅可比恒等式：

$$[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0$$

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正文：中文译文

来源版本：2025-10-20

原文位置：§5.4；PDF 页 75；印刷页 58

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