14 泊松括号与辛几何
我们已经看到，自由粒子的量子理论对应于用算符和构造海森堡李代数的一个表示，并选择哈密顿算子。人们希望利用这一点来产生量子系统，使其与比自由粒子更非平凡的经典力学系统具有类似的关系。在量子力学的早期，狄拉克就认识到，和算符的对易关系以某种方式对应于经典力学哈密顿形式中相空间上位置与动量坐标之间的泊松括号关系。在本章中，我们将概述哈密顿力学和泊松括号这一主题，包括对刻画相空间的辛几何的介绍。
海森堡李代数 通常被认为本质上是量子的，但它已经出现在经典力学中，作为相空间上零次和一次多项式的李代数，其李括号为泊松括号。在第 16 章中我们将看到，相空间上的二次多项式也提供了一个重要的有限维李代数。
相空间上所有函数构成的完整李代数（其李括号为泊松括号）是无限维的，因此并非我们迄今所研究的由矩阵给出的那种有限维李代数。然而从历史上看，正是这种无限维李代数促使 Sophus Lie 在 19 世纪 70 年代发现了李群与李代数理论。它也为经典力学的哈密顿形式提供了基本的数学结构。
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原书 PDF · 印刷页 163、164、165、166、167、168、169、170
来源版本：2025-10-20
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