14.2 泊松括号与海森堡李代数

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泊松括号的第三个基本性质，可以很容易地验证，是

• 莱布尼茨法则

{f_{1} f_{2}, f} = {f_{1}, f} f_{2} + f_{1} {f_{2}, f}, {f, f_{1} f_{2}} = {f, f_{1}} f_{2} + f_{1} {f, f_{2}}

这一性质表明，与函数 $f$ 取泊松括号时，其作用于函数乘积的方式满足莱布尼茨法则，即求乘积导数时所遵循的法则。与反映函数上李代数结构的反对称性和雅可比恒等式不同，莱布尼茨性质描述了李代数结构与函数乘法之间的关系。至少对于多项式函数而言，它允许人们将泊松括号的计算归纳地化归为坐标函数 $q$ 与 $p,$ 的泊松括号这一特殊情形，例如：

{q^{2}, q p} = q {q^{2}, p} + {q^{2}, q} p = q^{2} {q, p} + q {q, p} q = 2 q^{2} {q, p} = 2 q^{2}

泊松括号因而由其在线性函数上的值决定（从而由关系 ${q, q} = {p, p} = 0, {q, p} = 1)$ 决定。我们将定义：

定义

$Ω (\cdot, \cdot)$ 是泊松括号在 $M^{*}$ 上的限制，即 $M$ 上的线性函数。取 $M^{*}$ 的基向量为坐标函数 $q$ 和 $p,$ ，则 Ω 在基向量上由下式给出
$Ω (q, q) = Ω (p, p) = 0, Ω (q, p) = - Ω (p, q) = 1$

$M^{*}$ 的一般元素将是线性组合 $c_{q} q + c_{p} p$ ，其中 $c_{q}, c_{p}$ 为某些常数。对于 $M^{*}$ 中的一般元素对，Ω 将由下式给出

Ω (c_{q} q + c_{p} p, c_{q}^{'} q + c_{p}^{'} p) = c_{q} c_{p}^{'} - c_{p} c_{q}^{'} (14.1)

我们经常将 $M^{*}$ 的元素写成其系数 $c_{q}, c_{p}$ 的列向量，从而将

c_{q} q + c_{p} p \leftrightarrow (c _{p} c _{q})

于是有

Ω ((c _{p} c _{q}), (c _{p}^{'} c _{q}^{'})) = c_{q} c_{p}^{'} - c_{p} c_{q}^{'}

将 $M$ 上的线性函数与常函数合在一起，得到一个以 $q, p, 1$ 为基元素的三维空间，且该空间在泊松括号下封闭。因此，该空间是一个李代数，并且同构于海森堡李代数 $h_{3}$ （见 13.1 节），其在基元素上给出的同构为

X \leftrightarrow q, Y \leftrightarrow p, Z \leftrightarrow 1

该同构保持李括号关系，因为

[X, Y] = Z \leftrightarrow {q, p} = 1

为对偶相空间选择其自身的记号是方便的，因此我们将经常写作 $M^{*} = M$ 。我们已将其与海森堡李代数等同起来的三维空间于是就是

M \oplus R

我们将以两种不同方式表示该空间的元素

• 作为函数 $c_{q} q + c_{p} p + c,$ ，其李括号为泊松括号

{c_{q} q + c_{p} p + c, c_{q}^{'} q + c_{p}^{'} p + c^{'}} = c_{q} c_{p}^{'} - c_{p} c_{q}^{'}

• 作为 $M$ 的一个元素与一个实数组成的数对

((c _{p} c _{q}), c)

在这种第二种记号中，李括号是

[((c _{p} c _{q}), c), ((c _{p}^{'} c _{q}^{'}), c^{'})] = ((0 0), Ω ((c _{p} c _{q}), (c _{p}^{'} c _{q}^{'})))

这与方程 13.1 的 $h_{3}$ 的李括号完全相同。注意，李括号结构完全由 Ω 决定。

在更高维情形下， $M$ 上的坐标函数 $q_{1}, \dots, q_{d}, p_{1}, \dots, p_{d}$ 构成对偶空间 $M$ 的一组基。取常值函数 1 作为附加的基元素，我们便得到 a 个 $2 d + 1$ 维空间，其基为

q_{1}, \dots, q_{d}, p_{1}, \dots, p_{d}, 1

泊松括号关系

{q_{j}, q_{k}} = {p_{j}, p_{k}} = 0, {q_{j}, p_{k}} = δ_{j k}

将该空间变为一个李代数，同构于海森堡李代数 $h_{2 d + 1}$ 。在一般函数上，泊松括号将由 $d = 1$ 情形的显然推广给出

{f_{1}, f_{2}} = j = 1 \sum d (\frac{\partial f _{1}}{\partial q _{j}} \frac{\partial f _{2}}{\partial p _{j}} - \frac{\partial f _{1}}{\partial p _{j}} \frac{\partial f _{2}}{\partial q _{j}}) (14.2)

$h_{2 d + 1}$ 的元素是 $M = R^{2 d}$ 上形如

c_{q_{1}} q_{1} + \dots + c_{q_{d}} q_{d} + c_{p_{1}} p_{1} + \dots + c_{p_{d}} p_{d} + c = c_{q} \cdot q + c_{p} \cdot p + c

（使用记号 $c_{q} = (c_{q_{1}}, \dots, c_{q_{d}}), c_{p} = (c_{p_{1}}, \dots, c_{p_{d}}))$ 。我们常将这些记为

((c _{p} c _{q}), c)

$h_{2 d + 1}$ 上的这个李括号由下式给出

[((c _{p} c _{q}), c), ((c _{p}^{'} c _{q}^{'}), c^{'})] = ((0 0), Ω ((c _{p} c _{q}), (c _{p}^{'} c _{q}^{'}))) (14.3)

它仅依赖于反对称双线性形式

Ω ((c _{p} c _{q}), (c _{p}^{'} c _{q}^{'})) = c_{q} \cdot c_{p}^{'} - c_{p} \cdot c_{q}^{'} (14.4)

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 163、164、165、166、167、168、169、170

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：84364ae4944d6847e7cb27e08e34493d69437ab15ce67fcfb8f6006b5cbf5f65

译稿产物 SHA-256：46d737a2371bc117a7fc0e7e154cb2931140d1f3b2663f8e2fe5af5035e11c68

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