22.1 单自由度谐振子

22.1 单自由度谐振子

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比第 21 章的库仑势更简单的粒子在势场中的情形，是 $V(q)$ 关于 $q.$ 为二次的情形。当研究粒子在任意 $V(q)$ 的局部极小值附近的运动，并将 $V(q)$ 在该点附近展开为幂级数时，这也是最低阶近似。我们将其写为

$$h=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2$$

其系数选择使得 $\omega$ 成为经典轨迹周期运动的角频率。这些满足哈密顿方程

$$\dot{p}=-\frac{\partial V}{\partial q}=-m{\omega }^{2}q,\dot{q}=\frac{p}{m}$$

因此

$$\ddot{q}=-{\omega }^{2}q$$

其解将具有角频率为 $\omega .$ 的周期运动。这些解可以写成

$$q(t)=c_{+}{e}^{i\omega t}+c_{-}{e}^{-i\omega t}$$

对于 $c_{+},c_{-}\in \mathbf{C}$，其中由于 $q(t)$ 必须为实数，我们有 $c_{-}={\overline{c}}_{+}$。因此，运动方程的解空间是二维实维数，抽象地，这可以视为该系统的相空间。

更常规地，相空间可以由决定经典轨迹的初始值来参数化，例如由初始时刻 $t(0)$ 的位置 $q(0)$ 和动量 $p(0)$ 来参数化。由于

$$p(t)=m\dot{q}=m{c}_{+}i\omega e^{i\omega t}-m{c}_{-}i\omega e^{-i\omega t}=im\omega (c_{+}{e}^{i\omega t}-{\overline{c}}_{+}{e}^{-i\omega t})$$

我们有

$$q(0)=c_{+}+c_{-}=2\mathrm{Re}(c+),p(0)=im\omega (c_{+}-c_{-})=-2m\omega \mathrm{Im}(c_{+})$$

因此

$$c_{+}=\frac{1}{2}q(0)-i\frac{1}{2m\omega }p(0)$$

经典相空间轨迹是

$$q(t)=\left(\frac{1}{2}q(0)-i\frac{1}{2m\omega }p(0)\right)e^{i\omega t}+\left(\frac{1}{2}q(0)+i\frac{1}{2m\omega }p(0)\right)e^{-i\omega t}$$ $$p(t)=\left(\frac{im\omega }{2}q(0)+\frac{1}{2}p(0)\right)e^{i\omega t}+\left(\frac{-im\omega }{2}q(0)+\frac{1}{2}p(0)\right)e^{-i\omega t}$$

可以不使用两个实坐标来描述相空间中的点（并且在使用复指数时不得不引入一个实性条件），而改用单个复坐标，我们将其取为

$$z(t)=\sqrt{\frac{m\omega }{2}}\left(q(t)-\frac{i}{m\omega }p(t)\right)$$

于是运动方程是一阶而非二阶微分方程

$$\dot{z}=i\omega z$$

附解答

$$z(t)=z(0)e^{i\omega t}\text{\hspace{1em}(22.1)}$$

于是，经典轨迹被实现为$t$的复函数，并由该复数参数化

$$z(0)=\sqrt{\frac{m\omega }{2}}\left(q(0)-\frac{i}{m\omega }p(0)\right)$$

由于哈密顿算子在 $p$ 和 $q,$ 中是二次的，我们已经看到，可以利用薛定谔表示唯一地构造相应的量子算符。对于 $\mathcal{H}=L^2(\mathbf{R})$，我们有一个哈密顿算符

$$H=\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{Q}^2=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{q}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2$$

为了求解薛定谔方程的解，正如自由粒子情形一样，人们首先求解 $H$ 的属于特征值 $E_{:}$ 的特征向量，这意味着寻找以下方程的解

$$H{\psi }_E=\left(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{q}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{q}^2\right){\psi }_E=E{\psi }_E$$

薛定谔方程的解将是这些函数的线性组合

$${\psi }_E(q)e^{-\frac{i}{\hslash }Et}$$

求解此类微分方程的标准但略显复杂的方法表明，对于 $E=E_n=(n+\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array})\hslash \omega$（其中 $n$ 为非负整数），可以得到解；而对于给定的 $n$（我们将其记作 ${\psi }_n)$），其归一化解将为

$${\psi }_n(q)={\left(\frac{m\omega }{\pi \hslash 2^{2n}(n!{)}^2}\right)}^{\frac{1}{4}}{H}_n\left(\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}q\right)e^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{q}^2}\text{\hspace{1em}(22.2)}$$

其中 $H_n$ 是一族称为厄米多项式的多项式。${\psi }_n$ 构成 $H$ 的正交标准基（无需考虑自由粒子情形中那样的不可归一化波函数），因此任意初始波函数 $\psi (q,0)$ 都可以写成如下形式

$$\psi (q,0)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{\psi }_n(q)$$

与

$$c_n={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\psi }_n(q)\psi (q,0)dq$$

（注意 ${\psi }_n$ 是实值的）。在之后的时刻，波函数将为

$$\psi (q,t)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{\psi }_n(q)e^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n}t}=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{\psi }_n(q)e^{-i(n+\frac{1}{2})\omega t}$$

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来源版本：2025-10-20

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