22 谐振子
在本章中，我们将开始研究最重要的精确可解物理系统——谐振子。后续章节将讨论在此发展出的方法向费米子振子情形的延拓，以及自由量子域论，后者是具有无限自由度的谐振子系统。
对于有限个自由度，斯通-冯·诺依曼定理告诉我们，本质上只有一种方式将（指数化的）海森堡对易关系非平凡地表示为量子力学态空间上的算符。我们已经看到了这些算符的两种酉等价构造：以坐标空间或动量空间上的函数表示的薛定谔表示。事实证明，还存在另一类相当不同的这些算符的构造，它依赖于在相空间上引入复坐标，然后利用全纯函数的性质。我们将称之为巴格曼-福克表示，尽管相当多的数学家出于这样或那样的充分理由与它联系在一起（人们看到的其他一些名字有弗里德里希斯、西格尔、沙勒、韦伊，以及描述性术语“全纯”和“振子”）。
从物理上看，这个表示的重要性在于，它使一类基本量子系统——谐振子——的哈密顿算子对角化。在巴格曼-福克表示中，这类系统的能量本征态是单项式，而能量特征值是（相差一个半整数常数）整数。这些整数标记由哈密顿量生成的对称性的不可约表示，并且它们可以被解释为系统中“量子”的数目。正是这个例子的普遍性，为“量子力学”中的“量子”提供了依据。态空间上的算符可以用所谓的湮灭算符和产生算符来简单理解，这些算符使量子数减少或增加一。
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来源版本：2025-10-20
来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837
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