22.2 产生算符与湮灭算符

22.2 产生算符与湮灭算符

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值

事实证明，有一种相当简单的方法可以显式地求出谐振子哈密顿算符的特征函数和特征值（尽管要证明它给出了全部特征函数和特征值更为困难）。这还引出了海森堡群的一种新表示（根据斯通-冯·诺依曼定理，它当然与薛定谔表示酉等价）。代替处理满足对易关系的自伴算符 $Q$ 和 $P$，

$$[Q,P]=i\hslash 1$$

我们定义

$$a=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}Q+i\sqrt{\frac{1}{2m\omega \hslash }}P,a^{†}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}Q-i\sqrt{\frac{1}{2m\omega \hslash }}P$$

其满足该交换关系

$$[a,a^{†}]=1$$

由于

$$Q=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†}),P=-i\sqrt{\frac{m\omega \hslash }{2}}(a-a^{†})$$

哈密顿算符是

$$\begin{array}{rl}H& =\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{Q}^2\\ & =\frac{1}{4}\hslash \omega (-(a-a^{†}{)}^2+(a+a^{†}{)}^2)\\ & =\frac{1}{2}\hslash \omega (a{a}^{†}+a^{†}a)\\ & =\hslash \omega \left(a^{†}a+\frac{1}{2}\right)\end{array}$$

求 $H$ 的特征向量和特征值的问题，等价于求该算符的同一问题

$$N=a^{†}a$$

这样的算符满足对易关系

$$[N,a]=[a^{†}a,a]=a^{†}[a,a]+[a^{†},a]a=-a$$

和

$$[N,a^{†}]=a^{†}$$

若 |c⟩ 是 $N$ 的对应于特征值 $c,$ 的归一化特征向量，则成立

$$c=⟨c|a^{†}a|c⟩=|a|c⟩{|}^2\ge 0$$

因此 $N$ 的特征值必须是非负的。利用 $N,a,a^{†}$ 的对易关系可得

$$Na|c⟩=([N,a]+aN)|c⟩=a(N-1)|c⟩=(c-1)a|c⟩$$

和

$$N{a}^{†}|c⟩=([N,a^{†}]+a^{†}N)|c⟩=a^{†}(N+1)|c⟩=(c+1)a^{†}|c⟩$$

这表明 $a|c⟩$ 将具有特征值 $c-1$ 对于 $N.$，而 $N$ 的归一化本征函数将是

$$|c-1⟩=\frac{1}{\sqrt{c}}a|c⟩$$

类似地，由于

$$|a^{†}|c⟩{|}^2=⟨c|a{a}^{†}|c⟩=⟨c|(N+1)|c⟩=c+1$$

我们有

$$|c+1⟩=\frac{1}{\sqrt{c+1}}{a}^{†}|c⟩$$

如果我们从一个态 |0⟩ 出发，它是 $N$ 的对应于特征值 $0,$ 的非零特征向量，那么我们看到 $N$ 的特征值将是非负整数，因此 $N$ 被称为“数算符”。

我们可以通过寻找以下方程的解来找到这样的态

$$a|0⟩=0$$

|0⟩ 将具有能量特征值 $\frac{1}{2}\hslash \omega$，并且这将是能量最低的特征态。将 $a^{†}$ 作用于 |0⟩ 上 $n$ 次，得到能量特征值为 $(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$ 的态。|0⟩ 的方程为

$$a|0⟩=\left(\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}Q+i\sqrt{\frac{1}{2m\omega \hslash }}P\right){\psi }_0(q)=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\left(q+\frac{\hslash }{m\omega }\frac{d}{dq}\right){\psi }_0(q)=0$$

可以验证，该方程有一个单一的归一化解

$${\psi }_0(q)=(\frac{m\omega }{\pi \hslash }{)}^{\frac{1}{4}}{e}^{-\frac{m\omega }{2\hslash }{q}^2}$$

这是最低能量的本征函数。

其余能量本征函数可通过计算得到

$$|n⟩=\frac{a^{†}}{\sqrt{n}}\dots \frac{a^{†}}{\sqrt{2}}\frac{a^{†}}{\sqrt{1}}|0⟩=\frac{1}{\sqrt{n!}}{\left(\frac{m\omega }{2\hslash }\right)}^{\frac{n}{2}}{\left(q-\frac{\hslash }{m\omega }\frac{d}{dq}\right)}^n{\psi }_0(q)$$

为证明这些是方程 22.2 的本征函数，需从作为生成函数的厄米多项式的定义出发

$$e^{2qt-t^2}=\sum _{n=0}^{\infty }{H}_n(q)\frac{t^n}{n!}\text{\hspace{1em}(22.3)}$$

并将 $H_n(q)$ 解释为左端在 $t=0$ 处的泰勒系数，从而推导出该恒等式

$$\begin{array}{rl}{H}_n(q)& ={\left(\frac{d^n}{d{t}^n}{e}^{2qt-t^2}\right)}_{|t=0}\\ & =e^{q^2}{\left(\frac{d^n}{d{t}^n}{e}^{-(q-t{)}^2}\right)}_{|t=0}\\ & =(-1{)}^n{e}^{q^2}{\left(\frac{d^n}{d{q}^n}{e}^{-(q-t{)}^2}\right)}_{|t=0}\\ & =(-1{)}^n{e}^{q^2}\frac{d^n}{d{q}^n}{e}^{-q^2}\\ & =e^{\frac{q^2}{2}}{\left(q-\frac{d}{dq}\right)}^n{e}^{-\frac{q^2}{2}}\end{array}$$

取 $q$ 到 $\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}q$，这可用于证明 $|n⟩={\psi }_n(q)$ 由 22.2 给出。在该量子系统的物理解释中，态 $|n⟩$ 具有能量 $\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$，被视为描述 $n$ 个“量子”的态。态 |0⟩ 是“真空态”，其量子数为零，但仍带有 a 的“零点”能量 $\frac{1}{2}\hslash \omega .$。算符 $a^{†}$ 和 a 的性质与我们在 $SU(2)$ 中使用的升算符和降算符有些相似，但它们的对易子不同（为单位算符），从而导致更简单的行为。在这种情况下，它们分别被称为“产生”算符和“湮灭”算符，因为它们以特定方式改变量子数。这类量子与光子等物理粒子的关系在于，电磁场的量子化（见第46章）涉及无穷多个振子的量子化，其中一个振子的量子在物理上对应于具有特定动量和偏振的光子。这导致了一个众所周知的问题：如何处理对应于对每个振子累加 $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\end{array}$ ℏ$\omega$ 的无穷大真空能量。

下面绘制了前几个本征函数。最低能量的本征态是一个以 $q=0,$ 为中心的高斯函数，其傅里叶变换也是一个以 $p=0$ 为中心的高斯函数。经典地看，最低能量的解是一个静止在其平衡点 $(q=p=0)$ 处的振子，但对于量子振子，不可能存在这样一个具有确定位置和动量的态。注意，该图给出的是波函数，在此情形下它们是实的，并且可以为负。这个函数的平方才具有测量给定位置的概率密度的解释。

图 22.1：谐振子能量本征函数。

虽然我们在本节计算中保留了常数，但在下文中为简便起见，我们常常会令 $\hslash =m=\omega =1$，这可以通过适当选择单位来实现。含常数的方程可以通过重新标度恢复。特别地，我们对湮灭算符和产生算符的定义将由下式给出

$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q+iP),a^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q-iP)$$

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