34.4 狄拉克算符

34.4 狄拉克算符

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间

上述构造可以推广到任意维数$d$的情形，如下所示。回顾第29章，与带有标准内积但具有一般符号差$(r,s)$（其中$r+s=d,r$是+号的个数，$s$是$-\mathrm{signs})$的个数）的${\mathbf{R}}^d$相关联，我们有一个Clifford代数$\mathrm{Cliff}(r,s)$，其生成元${\gamma }_j$满足

$$\begin{array}{rl}{\gamma }_j{\gamma }_k& =-{\gamma }_k{\gamma }_j,j\ne k\\ {\gamma }_j^2& =+1\text{for}j=1,\dots ,r{\gamma }_j^2=-1,\text{for}j=r+1,\dots ,d\end{array}$$

对任意具有分量 $v_j.$ 的向量 $\text{ v }\in {\text{ R }}^d$，回忆一下，我们可以通过下式将它与 Clifford 代数中一个相应的元素 $v$/ 相联系：

$$\mathbf{v}\in {\mathbf{R}}^d\to \mathbf{y}=\sum _{j=1}^d{\gamma }_j{v}_j\in \mathrm{Cliff}(r,s)$$

将此克利福德代数元素与自身相乘并利用上述关系，我们得到一个标量，即该向量的长度平方

$${\mathbf{v}}^2=v_1^2+v_2^2\cdots +v_r^2-v_{r+1}^2-\cdots -v_d^2=|\mathbf{v}{|}^2$$

这表明，通过引入克利福德代数，我们可以为像 $|\mathbf{v}{|}^2$ 这样的表达式找到一种有趣的新型平方根。我们可以定义：

定义（狄拉克算符）

狄拉克算符是算符

$$\partial /=\sum _{j=1}^d{\gamma }_j\frac{\partial }{\partial q_j}$$

这将是一个一阶微分算符，其平方为拉普拉斯算符

$${\partial }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial q_1^2}+\cdots +\frac{{\partial }^2}{\partial q_r^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial q_{r+1}^2}-\cdots -\frac{{\partial }^2}{\partial q_d^2}$$

狄拉克算符 $\partial$ 不是作用在函数上，而是作用在取值于旋量向量空间 $S$ 的函数上，克利福德代数作用在该向量空间上。选取 ${\gamma }_j,$ 的一个矩阵表示后，狄拉克算符将是一个常系数一阶微分算符，作用在具有 dim $S$ 个分量的波函数上。在第 47 章中，我们将详细研究 $r=3,s=1$ 的情形，并考察那里的狄拉克算符如何提供一个具有狭义相对论时空对称性的适当波动方程。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash