34.3 E(3) -不变内积

34.3 E(3) -不变内积

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 复内积 · 不可约表示

人们可以参数化泡利方程的解，并以几种不同的方式在解空间上写出一个$\widetilde{E(3)}$-不变内积。可以考虑的解的三种不同参数化为：

• 使用固定时刻的初始数据

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})}\right)$$

这里的不变内积 $\widetilde{E(3)}$ 是

$$⟨\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1^{\prime }(\mathbf{q})}{{\psi }_2^{\prime }(\mathbf{q})}\right)⟩={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1(\mathbf{q})}{{\psi }_2(\mathbf{q})}\right)}^{†}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1^{\prime }(\mathbf{q})}{{\psi }_2^{\prime }(\mathbf{q})}\right)d^3\mathbf{q}$$

这种参数化并未使分解为 $\widetilde{E(3)}$ 的不可约表示变得明显

• 使用傅里叶变换

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{\psi }}_1(\mathbf{p})}{{\tilde{\psi }}_2(\mathbf{p})}\right)$$

为参数化解，不变内积是

$$⟨\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{\psi }}_1(\mathbf{p})}{{\tilde{\psi }}_2(\mathbf{p})}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{\psi }}_1^{\prime }(\mathbf{p})}{{\tilde{\psi }}_2^{\prime }(\mathbf{p})}\right)⟩={\int }_{{\mathbf{R}}^3}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{\psi }}_1(\mathbf{p})}{{\tilde{\psi }}_2(\mathbf{p})}\right)}^{†}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tilde{\psi }}_1^{\prime }(\mathbf{p})}{{\tilde{\psi }}_2^{\prime }(\mathbf{p})}\right)d^3\mathbf{p}$$

方程 34.5 的分解可用于将能量 $E$ 的解表示为二分量函数 ${\psi }_E(\mathbf{p})$，此类解空间上具有一个不变内积，由下式给出

$$⟨{\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p}),{\widetilde{{\psi }^{\prime }}}_E(\mathbf{p})⟩=\frac{1}{4\pi }{\int }_{S^2}{\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p}{)}^{†}{\tilde{\psi }}_E^{\prime }(\mathbf{p})\sin (\varphi )d\varphi d\theta$$

其中$(p,\varphi ,\theta )$是动量空间上的球坐标，而$S^2$是半径为$\sqrt{2mE}$的球面

${\tilde{\psi }}_E(\mathbf{p})$ 参数化的不是 $\widetilde{E(3)}$ 的单个不可约表示，而是两个不可约表示，包括两种螺旋度。

• 自旋极化向量和方程 34.9 可用于将固定能量 $E$ 的解参数化为球面 $|\mathbf{p}{|}^2=2mE$ 上的两个函数 ${\alpha }_{E,+}(\mathbf{p}),{\alpha }_{E,+}(\mathbf{p})$。这给出了 $\widetilde{E(3)}$ 的一个显式不可约表示分解，其中表示空间 a 为球面上的复函数空间，且对每种螺旋度选择，其不变内积由下式给出

$$⟨{\alpha }_{E,\pm }(\mathbf{p}),{\alpha }_{E,\pm }^{\prime }(\mathbf{p})⟩=\frac{1}{4\pi }{\int }_{S^2}{\alpha }_{E,\pm }(\mathbf{p}{)}^{†}{\alpha }_{E,\pm }^{\prime }(\mathbf{p})\sin (\varphi )d\varphi d\theta$$

在每种情形下，解空间都是一个复向量空间，人们可以设想将其取作相空间（以厄米内积的虚部提供辛结构）并进行量子化。这将是一个量子场论的例子，在第38.3.3节中有更详细的讨论。

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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