37.3 非相对论量子场论中的传播子

在量子场论中，提供可观测量的海森堡绘景算符将是域算符的乘积，而在自由粒子理论中，这些算符的时间依赖性已在 37.2 节中确定。对于不随时间变化的状态，自然的选择是真空态 |0⟩，尽管诸如相干态之类的其他可能性也可能有用。具有有限粒子数的状态将通过将域算符作用于真空来给出，因此这类状态只是对应于域算符的不同乘积。

我们在此不深入细节，但量子场论教科书中的一个标准主题是“威克定理”，它表明在态|0⟩中，场算符乘积的期望值的计算可以归结为计算以下特殊情形的问题：

定义（非相对论量子场论的传播子）

非相对论量子场论的传播子是振幅，对于 $t_{2} > t_{1}$
$U (x_{2}, t_{2}, x_{1}, t_{1}) = ⟨ 0∣ Ψ (x_{2}, t_{2}) Ψ^{†} (x_{1}, t_{1}) ∣0 ⟩$

这些函数的物理解释是：它们描述了一个过程的振幅，其中在时刻 $t_{1} .$ 产生一个定域于 $x_{1}$ 的单粒子态，传播一段时间 $t_{2} - t_{1}$ ，并在位置 $x_{2}$ 被湮灭。利用前面给出的含时场算符的解，我们得到

U (x_{2}, t_{2}, x_{1}, t_{1}) = \frac{1}{2 π} \iint_{R^{2}} ⟨ 0∣ e^{i p_{2} x_{2}} e^{- i \frac{p _{2}^{2}}{2 m} t} a (p_{2}) e^{- i p_{1} x_{1}} e^{i \frac{p _{1}^{2}}{2 m} t_{1}} a^{†} (p_{1}) ∣0 ⟩ d p_{2} d p_{1} = \frac{1}{2 π} \iint_{R^{2}} e^{i p_{2} x_{2}} e^{- i \frac{p _{2}^{2}}{2 m} t_{2}} e^{- i p_{1} x_{1}} e^{i \frac{p _{1}^{2}}{2 m} t_{1}} δ (p_{2} - p_{1}) d p_{2} d p_{1} = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- i p (x_{1} - x_{2})} e^{- i \frac{p ^{2}}{2 m} (t_{2} - t_{1})} d p

这正是已经在 12.5 节中详细讨论过的完全相同的计算（见方程 12.5）。如那里所述，结果（方程 12.9）是

U (x_{2}, t_{2}, x_{1}, t_{1}) = U (t_{2} - t_{1}, x_{2} - x_{1}) = (\frac{m}{i 2 π ( t _{2} - t _{1} )})^{\frac{1}{2}} e^{\frac{m}{2 i ( t _{2} - t _{1} )} (x_{2} - x_{1})^{2}}

其满足

t \to 0^{+} lim U (t, x_{2} - x_{1}) = δ (x_{2} - x_{1})

如果我们把 $U (t, x_{2} - x_{1})$ 的定义延拓到 $t < 0$ ，并在该处取为零，如本节所述，就得到推迟传播子 $U_{+} (t, x_{2} - x_{1})$ ，以及第 12.6 节中频率-动量空间中的傅里叶变换形式，还有第 12.7 节中与格林函数的关系。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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