37.4 相互作用量子场

37.4 相互作用量子场

为描述任意数量的粒子在外部势 $V(x)$ 中运动，哈密顿算子可以取为

$$\hat{H}={\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat{\Psi }}^{†}(x)\left(-\frac{1}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+V(x)\right)\hat{\Psi }(x)dx$$

如果能找到势场中薛定谔方程的一组完备正交归一解 ${\psi }_n(x)$，则可以用与自由粒子类似的技术来描述这个量子系统，以 ${\psi }_n(x)$ 而非动量为 $p.$ 的平面波作为 ${\mathcal{H}}_1$ ₁ 的基。每个本征函数都关联一对产生-湮灭算符 $a_n,a_n^{†}$，而量子场由下式定义

$$\hat{\Psi }(x)=\sum _n{\overline{\psi }}_n(x)a_n,{\hat{\Psi }}^{†}(x)=\sum _n{\psi }_n(x)a_n^{†}$$

对于哈密顿算子为量子场的二次型的量子场论，是相对易于处理的对象。它们在某种意义上是解耦的量子振子体系，尽管具有无限多个自由度。哈密顿算子中的高阶项正是使量子场论成为一门困难而复杂学科的原因，这门学科需要一年的研究生水平课程才能掌握基本计算技巧，并且至今仍阻碍着数学家证明此类理论的许多例子甚至具有基本的预期性质。在带电粒子与电磁场相互作用的量子理论中（见第45章），当电磁场被经典地处理时，人们仍然有一个关于粒子场算符的二次型哈密顿算子。但如果电磁场被当作量子体系处理，它便获得自己的场算符，而哈密顿算子不再关于场是二次型的，而是给出一个相互作用的量子场论。

即使仅关注描述一种粒子的量子域，粒子之间的相互作用也可能给哈密顿算子添加高于二阶的项。例如，如果这类粒子之间存在由相互作用能 $v(y-x)$ 2 描述的相互作用，则可以通过向哈密顿算子添加以下四次项来描述

$$\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat{\Psi }}^{†}(x){\hat{\Psi }}^{†}(y)v(y-x)\hat{\Psi }(y)\hat{\Psi }(x)dxdy$$

研究具有此类相互作用的“多体”量子系统是凝聚态物理学中的一个主要课题。

题外话（拉格朗日密度与路径积分）。虽然我们完全在哈密顿算子形式体系中工作，但另一种方法是从该系统的某个作用量出发并使用拉格朗日方法。一个能给出薛定谔方程作为欧拉-拉格朗日方程的作用量是

$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\left(i\psi \frac{\partial }{\partial t}\overline{\psi }-h\right)dxdt\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\left(i\psi \frac{\partial }{\partial t}\overline{\psi }+\psi \frac{1}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\overline{\psi }\right)dxdt\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\left(i\psi \frac{\partial }{\partial t}\overline{\psi }-\frac{1}{2m}|\frac{\partial }{\partial x}\psi {|}^2\right)dxdt\end{array}$$

其中最后一种形式是通过分部积分得到的，用以获得 $h$ 的另一种形式，如 37.2 节所述。在域论的作用量方法中，作用量是拉格朗日密度在空间和时间上的积分，在此情形下该密度为 2 2

$$L(x,t)=i\psi \frac{\partial }{\partial t}\overline{\psi }-\frac{1}{2m}|\frac{\partial }{\partial x}\psi {|}^2$$

为$\overline{\psi }$定义正则共轭动量，即$\frac{\partial L}{\partial \dot{\overline{\psi }}}$，得到动量变量$i\psi$。这证明了泊松括号关系。

$$\{\overline{\Psi }(x),i\Psi (x^{\prime })\}=\delta (x-x^{\prime })$$

但正如运动方程在时间上为一阶的情形所预期的那样，正则动量坐标$i\Psi (x)$并不独立于坐标$\overline{\Psi }(x)$。波函数的空间${\mathcal{H}}_1$已经是一个相空间，而不仅仅是位形空间，因此不需要引入新的动量变量。人们可以尝试用路径积分方法对这个系统进行量子化，例如通过做积分来计算传播子

$$\int D\psi (x,t)e^{\frac{i}{\hslash }S[\psi ]}$$

在由$t$参数化的${\mathcal{H}}_1$中的路径上，取值从$t=0$到$t=T$。这是一个高度无限维的积分，是在无限维空间中的路径上进行的。此外，回顾第35章中给出的关于在相空间中的路径上进行路径积分的问题性质的警告，而这里正是这种情况。

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