37.2 二次算符与动力学

37.2 二次算符与动力学

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其他可观测量可以简单地用域算符来定义。这些包括（注意，在所有情况下，这些公式都需要解释为有限截断理论中有限和的极限）：

• 数算符 $\hat{N}$。数密度算符可由下式定义

$$\hat{n}(x)={\hat{\Psi }}^{†}(x)\hat{\Psi }(x)$$

并积分以得到一个算符，其特征值为一个态中的总粒子数

$$\begin{array}{rl}\hat{N}& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{n}(x)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-i{p}^{\prime }x}{a}^{†}(p^{\prime })\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ipx}a(p)dpd{p}^{\prime }dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (p-p^{\prime })a^{†}(p^{\prime })a(p)dpd{p}^{\prime }\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{a}^{†}(p)a(p)dp\end{array}$$

• 总动量算符 $\hat{P}.$ 这可以用域来定义

作为算符

$$\begin{array}{rl}\hat{P}& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat{\Psi }}^{†}(x)(-i\frac{d}{dx}\hat{\Psi }(x))dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-i{p}^{\prime }x}{a}^{†}(p^{\prime })(-i)(ip)\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{ipx}a(p)dpd{p}^{\prime }dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (p-p^{\prime })p{a}^{†}(p^{\prime })a(p)dpd{p}^{\prime }\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }p{a}^{†}(p)a(p)dp\end{array}$$

关于该算符及其与空间平移的关系的更多讨论，见第38.3.1节。

• 哈密顿算子 $\hat{H}$。作为域算符的二次算符，可以将其选为

$$\hat{H}={\int }_{-\infty }^{\infty }{\hat{\Psi }}^{†}(x)\left(-\frac{1}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}\right)\hat{\Psi }(x)dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{p^2}{2m}{a}^{†}(p)a(p)dp$$

量子场论的动力学通常在海森堡绘景中描述，场算符的演化由第36.5节中关于$a(p),a^{†}(p)$的讨论的傅里叶变换形式给出。量子场满足一般动力学方程

$$\frac{d}{dt}{\hat{\Psi }}^{†}(x,t)=-i[{\hat{\Psi }}^{†}(x,t),\hat{H}]$$

在此情形下即为

$$\frac{\partial }{\partial t}{\hat{\Psi }}^{†}(x,t)=-\frac{i}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{\hat{\Psi }}^{†}(x,t)$$

注意，域算符 ${\hat{\Psi }}^{†}(x,t)$ 满足（共轭）薛定谔方程，该方程现在表现为关于分布算符而非波函数的微分方程。这样的微分方程可以像波函数那样求解，即通过傅里叶变换将微分化为乘法，我们得到

$${\hat{\Psi }}^{†}(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-ipx}{e}^{i\frac{p^2}{2m}t}{a}^{†}(p)dp$$

正如在 36.5 的情形中那样，这个涉及量子域算符的形式计算在 $\Psi (x)$ 和相空间上的二次函数方面也有一个类似物。可以写出

$$h={\int }_{-\infty }^{+\infty }\Psi (x)\frac{-1}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\overline{\Psi }(x)dx$$

以及动力学方程作为

$$\frac{d}{dt}\Psi (x,t)=\{\Psi (x,t),h\}$$

其可求值得到

$$\frac{\partial }{\partial t}\Psi (x,t)=-\frac{i}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\Psi (x,t)$$

注意，哈密顿算子函数还存在其他可能的形式，它们给出相同的动力学，这些形式通过分部积分与我们选定的形式相关联，特别是

$$\Psi (x)\frac{d^2}{d{x}^2}\overline{\Psi }(x)=\frac{d}{dx}\left(\Psi (x)\frac{d}{dx}\overline{\Psi }(x)\right)-|\frac{d}{dx}\Psi (x){|}^2$$

或

$$\Psi (x)\frac{d^2}{d{x}^2}\overline{\Psi }(x)=\frac{d}{dx}\left(\Psi (x)\frac{d}{dx}\overline{\Psi }(x)-\left(\frac{d}{dx}\Psi (x)\right)\overline{\Psi }(x)\right)+\left(\frac{d^2}{d{x}^2}\Psi (x)\right)\overline{\Psi }(x)$$

忽略导数的积分（假设边界项在无穷远处趋于零），本可以使用

$$h=\frac{1}{2m}{\int }_{-\infty }^{+\infty }|\frac{d}{dx}\Psi (x){|}^{2}dx\mathrm{or}h=-\frac{1}{2m}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left(\frac{d^2}{d{x}^2}\Psi (x)\right)\overline{\Psi }(x)dx$$

上一节：37.1 量子域算符 · 下一节：37.3 非相对论量子场论中的传播子 · English version

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