45.4 联络的几何意义

45.4 联络的几何意义

包含在联络 $A_{\mu }(x)$ 中的信息可以用另一种形式表示，即用它为 $M^4$ 中两点之间的任意曲线 $\gamma$ 定义一个相位：

定义（路径相关的相位因子）

给定一个联络 $A_{\mu }(x)$，对于任意由 $\tau \in [0,1]$ 参数化的曲线 $\gamma$，其在时刻 $\tau$ 的位置由 $x(\tau )$ 给出，可以定义路径相关的相位因子

$${\int }_{\gamma }A\equiv {\int }_0^1\sum _{\mu =1}^4{A}_{\mu }(x)\frac{d{x}_{\mu }}{d\tau }d\tau$$

规范变换$\phi$的效应是

$${\int }_{\gamma }A\to {\int }_0^1\sum _{\mu =1}^4\left(A_{\mu }(x)+\frac{\partial \phi }{\partial x_{\mu }}\right)\frac{d{x}_{\mu }}{d\tau }d\tau ={\int }_{\gamma }A+\phi (\gamma (1))-\phi (\gamma (0))$$

注意，如果 $\gamma$ 是一条闭曲线，且 $\gamma (1)=\gamma (0)$ ，那么路径相关的相位因子 $\dot{{\int }_{\gamma }A}$ 是规范不变的。

题外话。对于熟悉微分形式的读者，$A$ 可以被视为 ${\Omega }^1(M^4)$ 的一个元素，即时空 $M^4$ 上 1-形式的空间。路径相关的相位 ${\int }_{\gamma }\dot{A}$ 于是就是 1-形式沿曲线 $\gamma$ 的标准积分。$A$ 的曲率就是 2-形式 $F=dA$，其中 $d$ 是 de Rham 微分。规范群通过下式作用于联络

$$A\to A+d\phi$$

而曲率是规范不变的，因为

$$F\to F+d(d\phi )$$

而 $d$ 满足 $d^2=0$

微分形式的斯托克斯定理意味着，若$if\gamma$是一条闭曲线，且$\gamma$是曲面$S\left(\gamma =\partial S\right)$的边界，则

$${\int }_{\gamma }A={\int }_{S}F$$

注意，若 $F=0$ ，则对任意闭曲线 $\gamma ,$ 都有 ${\int }_{\gamma }A=0$ ，这可用于证明路径相关的相位因子不依赖于路径。为看出这一点，考虑从 $\gamma (0)$ 到 $\gamma (1)$ 的任意两条路径 ${\gamma }_1$ 与 ${\gamma }_2$ ，并令 $\gamma ={\gamma }_1-{\gamma }_2$ 为沿 ${\gamma }_1$ 从 $\gamma (0)$ 到 $\gamma (1)$ 、再沿 ${\gamma }_2$ 返回 $to\gamma (0)$ 的闭曲线。于是

$${\int }_{S}F=0⟹{\int }_{\gamma }A={\int }_{{\gamma }_1}A-{\int }_{{\gamma }_2}A=0$$

因此

$${\int }_{{\gamma }_1}A={\int }_{{\gamma }_2}A$$

路径相关的相位因子${\int }_{\gamma }A$使得能够以规范不变的方式比较复域$\psi$在不同点处的值。为了以规范不变的方式将域$\psi$在$\gamma (0)$处的值与在$\gamma (1)$处的值进行比较，我们只需考虑路径相关的量

$$e^{ie{\int }_{\gamma }A}\psi (\gamma (0))$$

其中 $\gamma$ 是从 $\gamma (0)$ 到 $\gamma (1)$ 的一条曲线。在规范变换下，这将变为

$$e^{ie{\int }_{\gamma }A}\psi (\gamma (0))\to e^{ie({\int }_{\gamma }A+\phi (\gamma (1))-\phi (\gamma (0)))}{e}^{ie\phi (\gamma (0))}\psi (\gamma (0))=e^{ie\phi (\gamma (1))}{e}^{ie{\int }_{\gamma }A}\psi (\gamma (0))$$

其变换性质与 $\psi (\gamma (1))$ 的变换性质相同。

图 45.1：以规范不变的方式比较两个点处的复域。

在路径积分形式中（见 35.3 节），单粒子与由矢势 $A_{\mu }$ 描述的背景电磁场之间的最小耦合，可以通过用依赖于路径的相位因子对路径积分加权来引入。这使形式路径积分变为

$$\int \mathcal{D}\gamma e^{\frac{i}{\hslash }S[\gamma ]}\to \int \mathcal{D}\gamma e^{\frac{i}{\hslash }S[\gamma ]}{e}^{\frac{ie}{\hslash }{\int }_{\gamma }A}$$

于是，以这种方式对路径加权的路径积分必须得到合理的定义。这种方法仅适用于单粒子理论，对于量子场论，则需通过先前所述的将导数替换为协变导数来实现最小耦合。

上一节：45.3 具有背景电磁场的域方程 · 下一节：45.5 非阿贝尔情形 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 484、485、486、487、488、489、490、491、492、493

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：d3d285500af2024670a515c59ee5503cd8bd26667c0e1e839c22ee489820b440

译稿产物 SHA-256：32317df4c6ac3698afbf9eabe35711a6e965f6a7368db99bf75de007ab69c6cf

机翻模型：deepseek-v4.1-flash