45.5 非阿贝尔情形

45.5 非阿贝尔情形

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 泡利矩阵 · 李括号

我们在38.2.2节中看到，具有作用于域的$U(m)$群的量子域论可以通过取$m$分量复域以及一个哈密顿算子来构造，该哈密顿算子是每个分量的单复域哈密顿算子之和。本章的构造从$U(1)$情形推广到$U(m)$情形，得到从${\mathbf{R}}^4$到$U(m)$的映射构成的规范群$\mathcal{G}$，以及联络和曲率的广义概念。在本节中，我们将概述其运作方式，而不深入全部细节。非阿贝尔$U(m)$情形是$U(1)$情形的一个相对直接的推广，除了曲率的定义之外，由于群的非交换性质，那里会出现具有不同行为的新项。

对角 $U(1)\subset U(m)$ 子群使用与上述矢势、协变导数、电场和磁场完全相同的形式体系来处理。只有 $SU(m)\subset U(m)$ 子群需要单独处理。我们仅对 $m=2$ 的情形这样做，这被称为杨-米尔斯情形，因为它最早由物理学家杨振宁和米尔斯于1954年研究。我们可以把 $U(1)$ 情形中的 $i\phi (x)$ 视为取值于李代数 $\mathfrak{u}(1)$ 的函数，并将其替换为一个矩阵值函数，对每个 $x$ 取值于李代数 $\mathfrak{su}(2)$。这可以用三个函数 ${\phi }_a$ 写成

$$i\phi (x)=i\sum _{a=1}^3{\phi }_a(x)\frac{{\sigma }_a}{2}$$

使用泡利矩阵。规范群变为从时空到 $SU(2)$ 的映射构成的群 ${\mathcal{G}}_{YM}$，其李代数为从时空到 $\mathfrak{su}(2)$ 的映射 $i\phi (x)$。与 $U(1)$ 情形不同，该李代数具有非平凡的李括号，由逐点的 su $.(2)$ 李括号（矩阵的对易子）给出。

在$SU(2)$情形下，实值函数$A_{\mu }$的类似物现在将是矩阵值的，并且可以写出

$$A_{\mu }(x)=\sum _{a=1}^3{A}_{\mu }^a(x)\frac{{\sigma }_a}{2}$$

现在，我们不再为每个时空方向 $\mu$ 只有一个矢势函数，而是有三个（即 $A_{\mu }^a(x))$），我们将把这些函数称为联络或“规范场”。复域 $\psi$ 现在是二分量域，而协变导数是

$$D_{\mu }^A\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1}{{\psi }_2}\right)=\left(\frac{\partial }{\partial x_{\mu }}-ie\sum _{a=1}^3{A}_{\mu }^a(x)\frac{{\sigma }_a}{2}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\psi }_1}{{\psi }_2}\right)$$

对于第38章和第44章中讨论的具有$U(m)$对称性的复域理论，这是$m=2$情形。将导数替换为协变导数，便得到与背景规范场耦合的非相对论和相对论物质粒子理论。

在杨-米尔斯情形下，曲率或场强仍可定义为协变导数的对易子，但现在这是矩阵值微分算符的对易子。结果将如在$U(1)$情形中一样是一个乘法算符，但它将是矩阵值的。曲率可以定义为

$$\sum _{a=1}^3{F}_{\mu \nu }^a\frac{{\sigma }_a}{2}=\frac{i}{e}[D_{\mu }^A,D_{\nu }^A]$$

其计算方式与阿贝尔情形大体相同，只是现在涉及 $A_{\mu }$ 与 $A_{\nu }$ 的对易子的项不再相消。像在 $U(1)$ 情形中那样区分电场和磁场强度分量，矩阵值电场和磁场的方程为：

$$E_j(x)=\sum _{a=1}^3{E}_j^a(x)\frac{{\sigma }_a}{2}=-\frac{\partial A_j}{\partial t}+\frac{\partial A_0}{\partial x_j}-ie[A_j,A_0]\text{\hspace{1em}(45.3)}$$

和

$$B_j(x)=\sum _{a=1}^3{B}_j^a(x)\frac{{\sigma }_a}{2}={ϵ}_{jkl}\left(\frac{\partial A_l}{\partial x_k}-\frac{\partial A_k}{\partial x_l}-ie[A_k,A_l]\right)\text{\hspace{1em}(45.4)}$$

因此，杨-米尔斯理论伴随着电场和磁场，它们现在取值于$\mathfrak{su}(2)$，并可以写成2乘2矩阵，或者用泡利矩阵基表示为按$a=1,2,3$索引的场${\mathbf{E}}^a(x)$和${\mathbf{B}}^a(x)$。这些场不再对$A_{\mu }$场是线性的，而是具有额外的二次项。这些非二次项将在杨-米尔斯理论的运动方程中引入非线性，使其研究比$U(1)$情形困难得多。

上一节：45.4 联络的几何意义 · 下一节：45.6 进一步阅读 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 484、485、486、487、488、489、490、491、492、493

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：d3d285500af2024670a515c59ee5503cd8bd26667c0e1e839c22ee489820b440

译稿产物 SHA-256：32317df4c6ac3698afbf9eabe35711a6e965f6a7368db99bf75de007ab69c6cf

机翻模型：deepseek-v4.1-flash