35.3 量子化与路径积分

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 酉表示

在使用勒让德变换过渡到哈密顿系统之后，人们便面临如何构造相应量子理论的问题。我们已经研究过“正则量子化”方法，即把位置坐标 $q_{j}$ 取为算符 $Q_{j}$ ，把动量坐标 $p_{j}$ 取为算符 $P_{j}$ ，其中 $Q_{j}$ 与 $P_{j}$ 满足海森堡对易关系。根据斯通-冯·诺依曼定理，在酉等价意义下，只有一种方式可以做到这一点，并在状态空间 $H .$ 上实现这些算符。然而回想一下，格罗内沃尔德-范霍夫不可行定理指出，对于高于二次的算符，存在固有的算符排序歧义，因此对于这类算符，同一经典系统会给出许多不同的可能量子化（不同之处仅在于正比于 $ℏ)$ 的项）。在勒让德变换不是同构的情形中，当人们试图过渡到量子系统时会出现一系列新问题，因为标准的正则量子化方法将不再适用，需要新的方法。

然而，还有一种截然不同的方法将经典理论与量子理论联系起来，它完全绕过了哈密顿算子形式，仅使用拉格朗日量。这就是路径积分形式，它基于一种计算时间演化算符的矩阵元的方法

⟨ q_{T} ∣ e^{- \frac{i}{ℏ} H T} ∣ q_{0} ⟩

在位置本征态基下，用对路径空间的积分表示 $_{go}$ 在时间 $T$ 内从位置 $q_{0}$ 到位置 $q_{T}$ （这里我们只处理 $d = 1 case)$ 。这里 $∣ q_{0}$ 是 $Q$ 的一个本征态，特征值为 $q_{0}$ （在位置空间表示中为位于 $q_{0}$ 的 delta 函数），而 $∣ q_{T}$ 具有 $Q$ 特征值 $q_{T}$ 。该矩阵元有一个物理解释：它是粒子在 $t = 0$ 时从 $q_{0}$ 出发、在时间 $T,$ 时具有位置 $q_{T}$ 的振幅，其范数平方给出在位置 $q_{T}$ 观测到该粒子的概率密度。它也是核函数，使得人们能够通过计算来确定任意时间 $t = T$ 的波函数 $ψ (q, T)$ ，以其在 $t = 0$ 的初值为依据。

ψ (q_{T}, T) = \int_{- \infty}^{\infty} ⟨ q_{T} ∣ e^{- \frac{i}{ℏ} H T} ∣ q_{0} ⟩ ψ (q_{0}, 0) d q_{0}

注意，对于自由粒子情形，这就是我们在 12.5 节中研究过的传播子。

为了尝试为此推导出路径积分表达式，人们将区间 $[0, T]$ 分成 $N$ 个等长的子区间并计算

⟨ q_{T} ∣ (e^{- \frac{i}{N ℏ} H T})^{N} ∣ q_{0} ⟩

如果哈密顿算子是求和式 $H = K + V$ ，则特罗特乘积公式表明

⟨ q_{T} ∣ e^{- \frac{i}{ℏ} H T} ∣ q_{0} ⟩ = N \to \infty lim ⟨ q_{T} ∣ (e^{- \frac{i}{N ℏ} K T} e^{- \frac{i}{N ℏ} V T})^{N} ∣ q_{0} ⟩ (35.2)

若 $K (P)$ 可以选为仅依赖于动量算符 $P$ ，且 $V (Q)$ 仅依赖于算符 $Q$ ，则可以将恒等算符的替代副本按以下形式插入

\int_{- \infty}^{\infty} ∣ q ⟩ ⟨ q ∣ d q = 1, \int_{- \infty}^{\infty} ∣ p ⟩ ⟨ p ∣ d p = 1

这给出了形如以下各项的乘积

⟨ q_{t_{j}} ∣ e^{- \frac{i}{N ℏ} K (P) T} ∣ p_{t_{j}} ⟩ ⟨ p_{t_{j}} ∣ e^{- \frac{i}{N ℏ} V (Q) T} ∣ q_{t_{j - 1}} ⟩

其中指标 $j$ 从 0 到 $N, t_{j} = j T / N$ ，变量 $q_{t_{j}}$ 和 $p_{t_{I}}$ 将被积分。

这样的项可以计算为

⟨ q_{t_{j}} ∣ p_{t_{j}} ⟩ ⟨ p_{t_{j}} ∣ q_{t_{j - 1}} ⟩ e^{- \frac{i}{N ℏ} K (p_{t_{j}}) T} e^{- \frac{i}{N ℏ} V (q_{t_{j - 1}}) T} = \frac{1}{2 π ℏ} e^{\frac{i}{ℏ} q_{t_{j}} p_{t_{j}}} \frac{1}{2 π ℏ} e^{- \frac{i}{ℏ} q_{t_{j - 1}} p_{t_{j}}} e^{- \frac{i}{N ℏ} K (p_{t_{j}}) T} e^{- \frac{i}{N ℏ} V (q_{t_{j - 1}}) T} = \frac{1}{2 π ℏ} e^{\frac{i}{ℏ} p_{t_{j}} (q_{t_{j}} - q_{t_{j - 1}})} e^{- \frac{i}{N ℏ} (K (p_{t_{j}}) + V (q_{t_{j - 1}})) T}

这种 $N$ 因子给出一个总因子 $(\frac{1}{2 π ℏ})^{N}$ 乘以某个量，该量是……的离散化近似

e^{\frac{i}{ℏ} \int_{0}^{T} (p \overset{q}{˙} - h (q (t), p (t))) d t}

其中指数中的相位就是作用量。考虑到对 $q_{t_{I}}$ 和 $p_{t_{j}}$ 的积分，应当有类似

⟨ q_{T} ∣ e^{- \frac{i}{ℏ} H T} ∣ q_{0} ⟩ = N \to \infty lim (\frac{1}{2 π ℏ})^{N} j = 1 \prod N \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} d p_{t_{j}} d q_{t_{j}} e^{\frac{i}{ℏ} \int_{0}^{T} (p \overset{q}{˙} - h (q (t), p (t))) d t}

不过，不应对 $q$ 做第一个和最后一个积分，而应将 $q$ 的第一个值固定为 $q_{0}$ ，最后一个值固定为 $q_{T}$ 。人们可以尝试将这种积分在极限下解释为相空间中路径空间上的积分，因此 a “相空间路径积分”。

这是一个极其简单且诱人的表达式，表面上说的是，一旦指定了作用量 $S$ ，量子系统就仅通过考虑积分来定义

\int D γ e^{\frac{i}{ℏ} S [γ]}

在相空间中对路径 $γ$ 的积分，其中 $D γ$ 是这一路径空间上的某种测度。由于积分只涉及 dpdq 的因子，而指数部分只涉及 pdq 和 $h (p, q)$ ，这一形式体系在无限维正则变换群（保持泊松括号的相空间变换）下似乎表现出与经典哈密顿形式体系相同的行为。它似乎也解决了我们关于算符排序歧义的问题，因为不同时刻的 $P$ 和 $Q$ 算符乘积的效应，可以通过计算被积函数中含有各种 $p$ 和 $q$ 因子的路径积分来得到。这些被积因子相互对易，从而只给出一种在相同时刻产生任意多个 $P$ 和 $Q$ 算符乘积的方式。

不幸的是，我们从格罗内沃尔德-范霍夫定理知道，这过于美好而不可能为真。这个表达式不能给出正则变换全群的酉表示，至少不能给出一个不可约且在线性函数 $q$ 和 $p .$ 生成的变换上限制为我们所想要的酉表示。看出问题的另一种方式是，一个简单的论证表明，通过正则变换，任何哈密顿算子都可以变换为自由粒子哈密顿算子，因此所有量子系统都只是在某种变量选择下的自由粒子。关于这些论证的细节以及对出错之处的仔细考察，见[77]第31章。问题的一个方面是，对于 $j$ 的相继取值，坐标 $q_{t_{j}}$ 或 $p_{t_{j}}$ 没有理由彼此接近。这是对“路径”的积分，而这些路径在 $N \to \infty$ 时并不获得任何预期的连续性性质，因此所得到的答案可能依赖于所选离散化的细节，从而重新引入算符排序歧义问题。

可以直观地看出，这类路径有某种令人不安之处，因为人们每个时间间隔都在两种表示之间来回切换：一种是 $q$ 空间表示，其中 $q$ 具有固定值，而关于 $p,$ 和 a $p$ 空间表示则一无所知；另一种是 $p$ 具有固定值，而关于 $q .$ 则一无所知。极限的“路径”是与相空间中的连续路径几乎没有关系的对象，因此，尽管人们或许能够定义方程 35.2 的极限，它却未必具有人们期望连续路径上的积分所具备的任何性质。

当哈密顿算子 $h$ 关于动量 $p,$ 为二次式时， $p_{t_{j}}$ 积分将是可精确计算的高斯积分。等价地，哈密顿算符的动能部分 $K$ 在位置空间中将具有可精确计算的核（见方程12.9）。因此， $p_{t_{j}}$ 积分可以被消去，同时交替使用 $q -$ 空间与 $p$ 空间表示所带来的问题也随之消除。剩余的关于 $q_{t_{j}}$ 的积分随后被解释为对不在相空间中、而在位置空间中的路径的路径积分。人们发现，若 $\dot{K} = \frac{P ^{2}}{2 m}$

⟨ q_{T} ∣ e^{- \frac{i}{ℏ} H T} ∣ q_{0} ⟩ =

N \to \infty lim (\frac{i 2 π ℏ T}{N m})^{\frac{N}{2}} \frac{m}{i 2 π ℏ T} j = 1 \prod N \int_{- \infty}^{\infty} d q_{t_{j}} e^{\frac{i}{ℏ} \sum_{j = 1}^{N} (\frac{m ( q _{t_{j}} - q _{t_{j - 1}} ) ^{2}}{2 T / N} - V (q_{t_{j}}) \frac{T}{N})}

在极限 $N \to \infty$ 下，指数的相位变为

S (γ) = \int_{0}^{T} d t (\frac{1}{2} m (\overset{q}{˙}^{2}) - V (q (t)))

可以尝试对相关量进行适当的归一化，使得该极限成为一个积分

\int D γ e^{\frac{i}{ℏ} S [γ]} (35.3)

其中路径 $γ (t)$ 现在是位置空间中的路径。

这个表达式特别吸引人的一个方面在于，它给出了在经典极限 $ℏ0$ 下经典行为如何出现的简单理解。振荡积分的稳相近似方法指出，对于在 $x = x_{c} (i.e., f^{'} (x_{c}) = 0)$ 处只有一个临界点的函数 $f$ ，以及小参数 $ϵ$ ，有

\frac{1}{i 2 π ϵ} \int_{- \infty}^{+ \infty} d x e^{i f / ϵ} = \frac{1}{f ^{''} ( c )} e^{i f (x_{c}) / ϵ} (1 + O (ϵ))

将同样的原理用于无限维路径积分，其中 $f = S$ 是路径上的作用量泛函，且 $ϵ = ℏ$ ，人们发现对于 $ℏ0$ ，路径积分将简化为仅依赖于经典轨迹的某种东西，因为根据最小作用量原理，这正是 $S$ 的临界点。

这类位置空间路径积分不存在源自 Groenewold-van Hove 定理的相空间路径积分所具有的原则性问题，但它们仍然有严重的解析问题，因为它们涉及在一个无限维空间上对一个剧烈振荡的相位进行积分的尝试。在极限 $ℏ0$ 之外，并不清楚无论得到什么结果是否都会独立于人们为定义无限维积分而取极限的方式的细节，也不清楚人们是否会自然地得到时间演化算符的酉结果。

使路径积分定义得更好的一种方法是在时间变量中进行解析延拓，正如在 12.5 节中对自由粒子情形所讨论的那样。在这种自由粒子情形中，在位置空间路径积分的定义中，用方程 12.8 代替方程 12.9 的使用，人们发现这导致路径上有一个定义良好的测度，即维纳测度。更一般地，当势能非零时，可以使用维纳测度技术来定义路径积分，得到的结果最终需要解析延拓回物理时间变量。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

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