46.2 电磁场的哈密顿算子形式

46.2 电磁场的哈密顿算子形式

为了量子化电磁场，我们首先需要将麦克斯韦方程组表示为哈密顿算子的形式。这些方程是关于$t$的二阶微分方程，因此我们期望用初始数据来参数化解。

$$(A_0(0,\mathbf{x}),\mathbf{A}(0,\mathbf{x}))\text{ and }\left(\frac{\partial A_0}{\partial t}(0,\mathbf{x}),\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}(0,\mathbf{x})\right)\text{\hspace{1em}(46.5)}$$

问题在于，规范不变性意味着如果 $A_{\mu }$ 是给定该初始数据的解，那么它的规范变换 $A_{\mu }^{\phi }$（见方程 45.1）对于任何满足以下条件的函数 $\phi (t,\mathbf{x})$ 也是解：

$$\phi (0,\mathbf{x})=0,\frac{\partial \phi }{\partial t}(t,\mathbf{x})=0$$

这意味着解不由矢势及其在 $t=0$ 处的时间导数的初始数据唯一确定，因此该初始数据将不能为解空间提供坐标。

处理这个问题的一种方法是，尝试找到矢势所满足的条件，以消除进行此类规范变换的自由度，然后取满足这些条件的初始数据子空间作为相空间。这称为作出 a“$\mathrm{gaug}{\mathrm{e}}^{\cdot }$ 的选择。我们将从以下内容开始：

定义（时间规范）

若 $A_0=0$，则称矢势 $A_{\mu }$ 处于时间规范。

注意，给定任意矢势 $A_{\mu }$，我们可以通过求解方程找到一个规范变换 $\phi$，使得规范变换后的矢势满足 $A_0=0$。

$$\frac{\partial \phi }{\partial t}(t,\mathbf{x})=A_0(t,\mathbf{x})$$

其解为

$$\phi (t,\mathbf{x})={\int }_0^t{A}_0(\tau ,\mathbf{x})d\tau +{\phi }_0(\mathbf{x})\text{\hspace{1em}(46.6)}$$

其中 ${\phi }_0(\mathbf{x})=\phi (0,\mathbf{x})$ 是空间变量 $x$ 的任意函数。

在时间规范下，麦克斯韦方程组解的初始数据由一对函数给出

$$\left(\mathbf{A}(\mathbf{x}),\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}(\mathbf{x})\right)$$

我们可以将这些作为解相空间上的坐标。电场现在是

$$\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$$

因此我们也可以将相空间上的坐标写为

$$(\mathbf{A}(\mathbf{x}),-\mathbf{E}(\mathbf{x}))$$

要求这些坐标的行为与有限维情形下的位置坐标和动量坐标完全一致，我们便可指定泊松括号，从而指定辛形式，其方式为

$$\begin{array}{rl}\{A_j(\mathbf{x}),A_k({\mathbf{x}}^{\prime })\}& =\{E_j(\mathbf{x}),E_k({\mathbf{x}}^{\prime })\}=0\\ \{A_j(\mathbf{x}),E_k({\mathbf{x}}^{\prime })\}& =-{\delta }_{jk}{\delta }^3(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })\end{array}\text{\hspace{1em}(46.7)}$$

如果我们随后取为哈密顿算子函数

$$h=\frac{1}{2}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}(|\mathbf{E}{|}^2+|\mathbf{B}{|}^2)d^3\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(46.8)}$$

哈密顿方程变为

$$\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}(t,\mathbf{x})=\{\mathbf{A}(t,\mathbf{x}),h\}=-\mathbf{E}(\mathbf{x})\text{\hspace{1em}(46.9)}$$

和

$$\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}(t,\mathbf{x})=\{\mathbf{E}(t,\mathbf{x}),h\}$$

可以证明，这正是麦克斯韦方程 46.3

$$\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}=\nabla \times \mathbf{B}$$

最后一个麦克斯韦方程，即高斯定律（46.4），在哈密顿算子形式体系中并不作为运动方程出现。在后续章节中，我们将看到处理这一问题的几种不同方法。

对于杨-米尔斯情形，在时间规范下，我们同样可以取 $(\mathbf{A}(\mathbf{x}),-\mathbf{E}(\mathbf{x}))$ 作为初始数据，其中这些量现在是矩阵值的。对于哈密顿算子，我们可以使用矩阵上的迹函数，并取

$$h=\frac{1}{2}{\int }_{{\mathbf{R}}^3}tr(|\mathbf{E}{|}^2+|\mathbf{B}{|}^2)d^3\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(46.10)}$$

因为

$$⟨X_1,X_2⟩=tr(X_1{X}_2)$$

是 $\mathfrak{su}(2)$ 上的一个非退化、正定且 $SU(2)$ 不变的内积。于是，哈密顿方程之一便是方程 46.9，当 $A_0=0$ 时（见方程 45.3），它也不过是杨-米尔斯电场的定义。

另一个哈密顿方程可以证明是

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial E_j}{\partial t}(t,\mathbf{x})& =\{E_j(t,\mathbf{x}),h\}\\ & =(\nabla \times \mathbf{B}{)}_j-ie{ϵ}_{jkl}[A_k,B_l]\end{array}\text{\hspace{1em}(46.11)}$$

其中 $B$ 是杨-米尔斯磁场 (45.4)。如果作用在 su(2) 中取值的域上的协变导数定义为

$${\nabla }^A(\cdot )=\nabla (\cdot )-ie[\mathbf{A},\cdot ]$$

于是方程 46.11 可以写成

$$\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}(t,\mathbf{x})={\nabla }^A\times \mathbf{B}$$

这些方程的问题在于，它们是关于 $A$ 的非线性方程，因此解的相空间不再是线性空间，理论的量子化需要采用不同的方法。

上一节：46.1 麦克斯韦方程组 · 下一节：46.3 高斯定律与时间无关的规范变换 · English version

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

原书 PDF · 印刷页 494、495、496、497、498、499、500、501、502、503、504、505、506、507、508、509、510

来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：490bb084314aadb3aedb08406a9dba1bd18c81c7b4d048ac90fd182ad89cc52b

译稿产物 SHA-256：9190b0e87aec0ca01f238e8d1a616676694d721e82ec5f369204a6e4dbce6321

机翻模型：deepseek-v4.1-flash