46.3 高斯定律与时间无关的规范变换

46.3 高斯定律与时间无关的规范变换

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 李代数 · 群在集合上的作用 · 圆群 U(1)

回到 $U(1)$ 情形，时间规范的一个问题是高斯定律（方程 46.4）不一定得到满足。同时，与时间无关的规范变换群 ${\mathcal{G}}_0\subset \mathcal{G}$ 将非平凡地作用于麦克斯韦方程初始数据的相空间，并保持时间规范条件 $A_0=0$（见方程 46.6）。我们将看到，在该群作用下的不变性条件可用于施加高斯定律。

这是电磁学理论中的一个标准事实：

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=\rho (\mathbf{x})$$

是高斯定律对存在背景电荷密度$\rho (\mathbf{x})$情形的推广。因此，高斯定律的失效在物理上可以解释为由于纳入了带有背景电荷的态，而不仅仅是真空中的电磁场。

处理这类问题有两种不同的方法：

• 在量子化之前，将高斯定律作为相空间上的一个条件施加。

• 量子化之后，将高斯定律作为对状态的条件施加，定义物理态空间 ${\mathcal{H}}_{phys}\subset \mathcal{H}$ 为满足以下条件的状态的子空间

$$\nabla \cdot \hat{\mathbf{E}}|\psi ⟩=0$$

其中 $\hat{\mathbf{E}}$ 是量子化电场。

为了理解尝试实现这些选择之一时会发生什么，首先考虑一个简单得多的例子，即三维非相对论性粒子，其势能不依赖于某一个构型变量，比如 $q_3$ 。该系统在 3 方向平移下具有对称性，并且条件

$$P_3|\psi ⟩=0\text{\hspace{1em}(46.12)}$$

在态上，它将与时间演化对易，因为$[P_3,H]=0$。在薛定谔表示中，由于

$$P_3=-i\frac{\partial }{\partial q_3}$$

如果我们把 ${\mathcal{H}}_{phys}$ 定义为满足 46.12 的状态的子集，那么它可以等同于两个位置变量 $q_1,q_2$ 的波函数空间。此时出现的一个技术问题是，原来的内积包含对 $q_3$ 坐标的积分，而该积分将会发散，因为波函数将独立于这个坐标。

如果在量子化之前改为施加条件 $p_3=0$（即在相空间坐标上施加），则相空间现在将是五维的，坐标为 $q_1,q_2,q_3,p_1,p_2$，并且它将不再具有非退化辛形式。显然，为了得到一个其量子化将具有状态空间 ${\mathcal{H}}_{phys}$ 的相空间，我们需要做的是消除对坐标 $q_3$ 的依赖。

一般地，若有一个群 $G$ 作用在相空间 $M,$ 上，我们可以定义：

定义（辛约化）

给定一个群 $G$ 作用在相空间 $M_i$ 上并保持泊松括号，且具有矩映射

$$M\to {\mathfrak{g}}^{\ast }$$

辛约化 $M/G$ 是商空间 ${\mu }^{-1}(0)/G$

此处不予展示，但在适当条件下，空间 $M/G$ 将具有非退化辛形式。它可以被视为描述相空间 $M$ 的 $G$ 不变自由度的相空间。人们希望成立的是“量子化与约化可交换”：$M/G$ 的量子化给出一个量子系统，其状态空间 ${\mathcal{H}}_{phys}$ 等同于 $M.$ 的量子化的状态空间 $\mathcal{H}$ 的 $G$ 不变子空间。$M$ 和 $M/G$ 很少同时是我们知道如何量子化的那种线性相空间，因此这应被视为允许对更一般辛流形进行量子化的方案所应具备的理想性质。

对于在3方向上平移不变的系统，$M={\mathbf{R}}^6,G=\mathbf{R},\mathfrak{g}=\mathbf{R})$，且矩映射取值（见方程15.12）为${\mathfrak{g}}^{\ast }$中由$\mu (\mathbf{q},\mathbf{p})$给出的元素，其中

$$\mu (\mathbf{q},\mathbf{p})(a)=a{p}_3$$

${\mu }^{-1}(0)$ 将是相空间中满足 $p_3=0$ 的子空间。在这个空间上，平移群通过平移坐标 $q_3,$ 作用，因此我们可以识别

$$M//\mathbf{R}={\mu }^{-1}(0)/\mathbf{R}={\mathbf{R}}^4$$

在坐标为 $q_1,q_2,p_1,p_2$ 的相空间中。在这种情况下，量子化将与约化可交换，因为施加 $P_3|\psi ⟩=0$ 或量子化 $M//\mathbf{R}$ 给出相同的态空间（在薛定谔表示中，位置变量 $q_1,q_2)$ 的波函数。

这一相同的原理可以应用于时间规范相空间的无限维例子，其坐标为

$$(\mathbf{A}(\mathbf{x}),-\mathbf{E}(\mathbf{x}))$$

以及时间无关规范变换群${\mathcal{G}}_0$的一个作用量，其李代数为函数$\phi (\mathbf{x})$。在这种情况下，条件$\mu =0$将恰好是高斯定律。要看到这一点，注意矩映射$\mu \in (Lie{\mathcal{G}}_0{)}^{\ast }$将由下式给出

$$\mu (\mathbf{A}(\mathbf{x}),-\mathbf{E}(\mathbf{x}))(\phi (\mathbf{x}))={\int }_{{\mathbf{R}}^3}\phi ({\mathbf{x}}^{\prime })\nabla \cdot \mathbf{E}{d}^3{\mathbf{x}}^{\prime }$$

因为

$$\begin{array}{rl}\{\mu ,\mathbf{A}(\mathbf{x})\}& =\{{\int }_{{\mathbf{R}}^3}\phi ({\mathbf{x}}^{\prime })\nabla \cdot \mathbf{E}{d}^3{\mathbf{x}}^{\prime },\mathbf{A}(\mathbf{x})\}\\ & =\{{\int }_{{\mathbf{R}}^3}(-\nabla \phi ({\mathbf{x}}^{\prime }))\mathbf{E}({\mathbf{x}}^{\prime })d^3{\mathbf{x}}^{\prime },\mathbf{A}(\mathbf{x})\}\\ & =-\nabla \phi (\mathbf{x})\end{array}$$

（第一步使用分部积分，第二步使用泊松括号关系）。这与 15.3 节中矩映射的定义一致，因为 $\nabla \phi (\mathbf{x})$ 是 $\mathbf{A}(\mathbf{x})$ 在无穷小规范变换 $\phi (\mathbf{x})$ 下的无穷小变化。类似地可以证明，由于 $E$ 是规范不变的，$\mu$ 满足

$$\{\mu ,\mathbf{E}(\mathbf{x})\}=0$$

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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