46.1 麦克斯韦方程组

46.1 麦克斯韦方程组

我们在第45章中看到，通过引入矢势场$A_{\mu }=(A_0,\mathbf{A})$，自由粒子的量子理论可以耦合到背景电磁场。电场和磁场由方程通过$A_{\mu }$定义。

$$\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\nabla A_0,\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$$

在本章中，我们将看到如何使$A_{\mu }$场成为动力学变量，尽管仅限于自由电磁场这一特殊情形，而不与物质场相互作用。运动方程将是：

定义（真空中的麦克斯韦方程组）

真空中电磁场的麦克斯韦方程组为

$$\nabla \cdot \mathbf{B}=0\text{\hspace{1em}(46.1)}$$

$$\nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\text{\hspace{1em}(46.2)}$$

$$\nabla \times \mathbf{B}=\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\text{\hspace{1em}(46.3)}$$

以及高斯定律：

$$\nabla \cdot \mathbf{E}=0\text{\hspace{1em}(46.4)}$$

题外话。用微分形式表示，这些方程可以非常简洁地写成

$$dF=0,d\ast F=0$$

其中第一个方程等价于 $46.1$ 和 $46.2,$，第二个方程（对闵可夫斯基度量使用霍奇星算子）等价于 $46.3$ 和 $46.4$。注意，第一个方程自动满足，因为根据定义 $F=dA$，而 $d$ 算符满足 $d^2=0$

将方程 46.1 用矢势写出，得到

$$\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{A}=0$$

这对任何向量场 $A$ 都自动满足。类似地，用矢势表示时，方程 46.2 是

$$\nabla \times \left(-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\nabla A_0\right)=-\frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{A})$$

它自动得到满足，因为

$$\nabla \times \nabla f=0$$

对于任意函数 $f.$

注意，由于麦克斯韦方程仅通过规范不变场 $B$ 和 $E$ 依赖于 $A_{\mu }$，因此若 $A_{\mu }=\left(A_0,\mathbf{A}\right)$ 是一个解，则规范变换后的结果也是解

$$A_{\mu }^{\phi }=\left(A_0+\frac{\partial \phi }{\partial t},\mathbf{A}+\nabla \phi \right)$$

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来源版本：2025-10-20

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机翻模型：deepseek-v4.1-flash