实射影 3-空间 (real projective 3-space)

按作者与版本查阅

以下按已登记位置排列。出现顺序、原文引用与已登记依赖分别展示；最早位置不代表全书首次定义。

Woit · 2025-10-20

已登记出处中的最早位置：§6.2 · zh-CN。

位置	语言	登记角色
§6.2	zh-CN · 英文上下文	术语出现
§6.2	en · 中文上下文	术语出现

来源短摘录与定位

§6.2 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

$u$ 与 $-u$ 对 $\vec{v}$ 的作用相同，因此 $\mathrm{SO}(3)$ 中每个元素在 $\mathrm{Sp}(1)$ 中恰有两个原像。映射 $\Phi$ 是满射，所以它是次数为二的覆盖映射(covering map)。因此，$\mathrm{Sp}(1)$ 二重覆盖 $\mathrm{SO}(3)$，这个群记作 $\mathrm{Spin}(3)$。从几何上看，$\mathrm{SO}(3)$ 是将三球面 $S^3=\mathrm{Sp}(1)=\mathrm{Spin}(3)$ 上的对径点等同后得到的空间。该空间即实射影 3-空间(real projective 3-space)，也可视为 ${\mathbb{R}}^4$ 中过原点的直线所成的空间。

§6.2 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

Both $u$ and $-u$ act identically on $\vec{v}$, so each element of $\mathrm{SO}(3)$ has two preimages in $\mathrm{Sp}(1)$. The map $\Phi$ is surjective, hence it is a covering map of degree two. Thus $\mathrm{Sp}(1)$ double-covers $\mathrm{SO}(3)$, and we denote this group by $\mathrm{Spin}(3)$. Geometrically, $\mathrm{SO}(3)$ is $S^3=\mathrm{Sp}(1)=\mathrm{Spin}(3)$ with antipodal points identified. The resulting space is real projective 3-space, also the space of lines through the origin in ${\mathbb{R}}^4$.

来源覆盖、定位与记录

索引保留所有已登记出处，不受模型材料包八小节限额影响。中英上下文按已登记的书、版次与小节配对，不冒充另一语言的概念定义。没有穷尽全书未标记的术语；程序校验不提升原著或译文审阅资格。

登记位置 2；当前可定位出现 2。

永久身份：urn:uuid:02cfe956-6666-4db6-bee4-19ea46011cfe。

身份历史 · 结构化来源索引