6.2 三维和四维中的自旋群

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 正交群 · 李代数 · 李群 · 群同态

正交群 $S O (n)$ 的一个微妙而显著的性质是，它们附带一个关联群，称为 $S p in (n)$ ，其中 $S O (n)$ 的每个元素对应于 $S p in (n)$ 的两个不同元素。存在一个满群同态

Φ : S p in (n) \to S O (n)

其中 $S O (n)$ 的每个元素的逆像由 $S p in (n)$ 的两个不同元素给出

题外话。其拓扑原因是， $(f or n > 2)$ ， $S O (n)$ 的基本群非平凡，且 $π_{1} (S O (n)) = Z_{2}$ （特别地， $S O (n)$ 中存在一条不可缩的环路，若绕其两圈则可缩）。 $S p in (n)$ 在拓扑上是 $S O (n)$ 的单连通双重覆盖，并且覆盖映射 $Φ : S p in (n) \to S O (n)$ 可选取为群同态。

$S p in (n)$ 是一个李群，其维数与 $S O (n)$ 相同，在单位元处具有同构的切空间，因此这两个群的李代数同构： $so (n) ≃ spin (n)$

在第29章中，我们将对任意 $n_{:}$ 显式构造群 $S p in (n)$ ，但这里我们只对 $n = 3$ 和 $n = 4$ 这样做，使用针对这两种情形的特定方法。在 $n = 5$ （其中 $S p in (5) = S p (2)$ ，即2乘2保范数四元数矩阵）和 $n = 6$ （其中 $S p in (6) = S U (4))$ ）的情形下，可以使用特殊方法将 $S p in (n)$ 与其他矩阵群等同起来。对于 $n > 6$ ，群 $S p in (n)$ 将是一个矩阵群，但不同于此类群的其他类。

给定 $S p in (n)$ 的这种构造，我们还需要显式构造同态 $Φ$ ，并证明其导数 $Φ^{'}$ 是李代数的同构。我们将看到，这里自旋群的最简单构造使用了单位长度四元数群 $S p (1)$ ，其中 $S p in (3) = S p (1)$ 和 $S p in (4) = S p (1) \times S p (1)$ 。通过将四元数与复数对等同起来，我们可以证明 $S p (1) = S U (2)$ ，从而将这些自旋群视为 2 乘 2 复矩阵（对于 $S p in (3))$ ），或此类矩阵的对（对于 $S p in (4))$ 。

6.2.1 四元数

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四元数是一个数系（记作 $H$ ），它推广了复数系，其元素 $q \in H$ 可写成

q = q_{0} + q_{1} i + q_{2} j + q_{3} k, q_{j} \in R

其中 $i$ 、 $j$ 、 $k$ 满足 $η \in H$

i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1, ij = - ji = k, ki = - ik = j, jk = - kj = i

以及一个进行共轭的共轭运算

q \to \overset{q}{ˉ} = q_{0} - q_{1} i - q_{2} j - q_{3} k

该运算满足（对于 $u, v \in H)$

\overline{uv} = \overset{v}{ˉ} \overset{u}{ˉ}

作为 $R$ 上的向量空间， $H$ 与 $R^{4}$ 同构。此 $R^{4}$ 上的长度平方函数可以用四元数表示为

∣ q ∣^{2} = q \overset{q}{ˉ} = q_{0}^{2} + q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2}

并且是可乘的，因为

∣ uv ∣^{2} = uv \overline{uv} = uv \overset{v}{ˉ} \overset{u}{ˉ} = ∣ u ∣^{2} ∣ v ∣^{2}

使用

\frac{q q ˉ}{∣ q ∣ ^{2}} = 1

人们有关于四元数的逆的公式

q^{- 1} = \frac{q ˉ}{∣ q ∣ ^{2}}

长度为 1 的四元数因此在乘法下构成一个群，称为 $S p (1)$ 。对于更大的 $n,$ 值，也有称为 $S p (n)$ 的李群，它们由具有四元数元素的可逆矩阵组成，这些矩阵作用在四元数向量上并保持四元数长度平方不变，但它们在量子力学中不起重要作用，因此我们不再进一步研究它们。 $S p (1)$ 可以等同于三维球面，因为对 $q$ 的长度为 1 条件就是

q_{0}^{2} + q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2} = 1

单位球面 $S^{3} \subset R^{4}$ 的方程

6.2.2 四维中的旋转与自旋群

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单位四元数的对 $(u, v)$ 给出乘积群 $S p (1) \times S p (1)$ 。该群的一个元素 $(u, v)$ 通过左、右四元数乘法作用在 $q \in H = R^{4}$ 上

q \to u q v^{- 1}

该作用量保持向量长度，并且在 $q,$ 中是线性的，因此它必须对应于群 $S O (4)$ 中的一个元素。容易看出，对 $(u, v)$ 和 $(- u, - v)$ 给出 $R^{4}$ 的同一线性变换，因此给出 $S O (4)$ 的同一元素，并表明 $S O (4)$ 就是群 $S p (1) \times S p (1)$ ，其中两个元素 $(u, v)$ 和 $(- u, - v)$ 被等同。 $S p in (4)$ 这个名称被赋予李群 $S p (1) \times S p (1)$ ，它以这种方式“双重覆盖” $S O (4)$ ，其覆盖映射为

Φ : (u, v) \in S p (1) \times S p (1) = S p in (4) \to {q \to u q v^{- 1}} \in S O (4)

6.2.3 三维中的旋转与自旋群

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 线性映射 · 李代数 · 圆群 U(1) · 李括号

稍后我们还会再次遇到 $S p in (4)$ 和 $S O (4)$ ，但目前我们感兴趣的是子群 $S p in (3)$ ，它只在 3 个维数上非平凡地作用，并且双重覆盖的不是 $S O (4)$ ，而是 $S O (3)$ 。为找到它，考虑由形如 $(u, u)$ 的对 $(u, v)$ 组成的 $S p in (4)$ 的子群（一个同构于 $S p (1)$ 的子群，因为元素对应于单个单位长度四元数 $u$ ）。该子群通过共轭作用于四元数

q \to u q u^{- 1}

一个在实四元数上平凡的作用量（因为 $u (q_{0} 1) u^{- 1} = q_{0} 1)$ 。它保持并非平凡地作用在形如“纯虚”四元数构成的空间上

q = v = v_{1} i + v_{2} j + v_{3} k

其可与向量空间 $R^{3}$ 等同。元素 $u \in S p (1)$ 作用于 $v \in R^{3} \subset H$ 如下

v \to u v u^{- 1}

这是一个线性作用，保持长度 |⃗v| 不变，因此它对应于 $S O (3)$ 中的一个元素。于是我们得到一个映射（容易验证它是一个同态）

Φ : u \in S p (1) \to {v \to u v u^{- 1}} \in S O (3)

图6.1：双重覆盖 $S p (1) \to S O (3)$

$u$ 与 − $u$ 对 $v,$ 的作用方式相同，因此在 $S p (1)$ 中有两个元素对应于 SO(3) 中的同一个元素。可以证明 $Φ$ 是满射（SO(3) 的任意元素都是某个元素的 $Φ$ ），因此它就是所谓的 a“覆盖”映射，具体地是一个二重覆盖。它使 $S p (1)$ 成为 $S O (3)$ 的双重覆盖，我们将这个群命名为 $^{a} S p in (3)^{n}$ 。这也使我们能够更简单地将 $S O (3)$ 刻画为一个几何空间。它就是 $S^{3} = S p (1) = S p in (3)$ ，其中三球面上的对径点被等同。这个空间被称为 $R \dot{P}^{3}$ ，即实射影 3-空间，它也可以被视为 $R^{4}$ 中过原点的直线构成的空间（每条这样的直线与 $S^{3}$ 交于两个对径点）。

题外话。覆盖映射 $Φ$ 是拓扑非平凡覆盖的一个例子。在拓扑上，并非 $S^{3} ≃ RP^{3} \times (+ 1, - 1)$ . $S^{3}$ 是连通空间，而不是两个不连通的部分。这种拓扑非平凡性意味着，整体上不可能存在从 $Φ$ $(i . e ., S O (3) \to S p in (3))$ 出发的反方向同态。这可以在局部做到：在 $S O (3)$ 中取一个局部小块，并将 $Φ$ 的逆取到 $S p in (3)$ 中的一个局部小块，但如果我们试图将其整体延拓到整个 $S O (3)$ ，这就不起作用了。

恒等对应 $R^{2} = C$ 使我们能够将单位圆群 $U (1)$ 的元素表示为指数 $e^{i θ}$ ，其中 $i θ$ 属于 $U (1)$ 的李代数 $u (1) = i R$ 。 $S p (1)$ 的行为也大致相同，此时李代数 sp(1) 是所有纯虚四元数构成的空间，可通过以下方式与 $R^{3}$ 等同：

w = w_{1} w_{2} w_{3} \in R^{3} \leftrightarrow w = w_{1} i + w_{2} j + w_{3} k \in H

与 $U (1)$ 情形不同，这里存在一个非平凡的李括号，即四元数的对易子。

群 $S p (1)$ 的元素通过对这样的李代数元素取指数给出，我们将其写成如下形式

u (θ, w) = e^{θ w}

其中 $θ \in R$ 和 $w$ 是单位长度的纯虚四元数。由于

w^{2} = (w_{1} i + w_{2} j + w_{3} k)^{2} = - (w_{1}^{2} + w_{2}^{2} + w_{3}^{2}) = - 1

指数可以展开以表明

e^{θ w} = cos θ + w sin θ

以 $θ$ 为参数， $u (θ, w)$ 给出 $S p (1)$ 中经过 $θ = 0$ 处恒等元的路径，其速度向量为⃗ $w$ ，因为

\frac{d}{d θ} u (θ, w)_{∣ θ = 0} = (- sin θ + w cos θ)_{∣ θ = 0} = w

我们可以显式地计算同态 $Φ$ 在这些元素 $u (θ, w) \in$ $S p (1)$ 上的作用，结果是 $Φ$ 将 $u (θ, w)$ 映为绕轴 $w$ 旋转角度 $2 θ$ 的旋转：

定理 6.1。

Φ (u (θ, w)) = R (2 θ, w)

证明

首先考虑绕 3 轴旋转的特殊情形 $w = e_{3}$ 。

u (θ, e_{3}) = e^{θ k} = cos θ + k sin θ

和

u (θ, e_{3})^{- 1} = e^{- θ k} = cos θ - k sin θ

因此， $Φ (u (θ, e_{3}))$ 是将 $v$ （与四元数 $v =$ $v_{1} i + v_{2} j + v_{3} k)$ 等同）旋转到

u (θ, e_{3}) v u (θ, e_{3})^{- 1} = (cos θ + k sin θ) (v_{1} i + v_{2} j + v_{3} k) (cos θ - k sin θ) = (v_{1} (cos^{2} θ - sin^{2} θ) - v_{2} (2 sin θ cos θ)) i + (2 v_{1} sin θ cos θ + v_{2} (cos^{2} θ - sin^{2} θ)) j + v_{3} k = (v_{1} cos 2 θ - v_{2} sin 2 θ) i + (v_{1} sin 2 θ + v_{2} cos 2 θ) j + v_{3} k

这是由 $R^{3}$ 给出的正交变换

v = v_{1} v_{2} v_{3} \to cos 2 θ sin 2 θ 0 - sin 2 θ cos 2 θ 0 001 v_{1} v_{2} v_{3} (6.2)

对于 $e_{1}$ 的情形，同样的计算可以很容易地完成，然后利用方程6.1的欧拉角参数化来证明一般的 $u (θ, w)$ 可以写成已经处理过的情形的乘积。□

注意，当 $θ$ 从 0 变到 $2 π, u (θ, w)$ 时，在 $S p (1)$ 中描出一个圆。同态 $Φ$ 将其映到 $S O (3)$ 中的一个圆，当 $θ$ 从 0 变到 $2 π$ 时，该圆被描出两次，这明确显示了 $S O (3)$ 中该特定圆上方的二重覆盖的性质。

映射 $Φ$ 的导数将是一个李代数同态，即一个线性映射

Φ^{'} : sp (1) \to so (3)

它将纯虚四元数的李代数 $sp (1)$ 映射到 3 乘 3 反对称实矩阵的李代数 so(3)。人们可以很容易地在基向量上计算它，例如使用上面的方程 6.2 来找到 $w =$ $k$ 的情形

Φ^{'} (k) = \frac{d}{d θ} Φ (cos θ + k sin θ)_{∣ θ = 0} = - 2 sin 2 θ 2 cos 2 θ 0 - 2 cos 2 θ - 2 sin 2 θ 0 000_{∣ θ = 0} = 020 - 2 00 000 = 2 l_{3}

对其他基向量重复此操作可得

Φ^{'} (i) = 2 l_{1}, Φ^{'} (j) = 2 l_{2}, Φ^{'} (k) = 2 l_{3}

因此， $Φ^{'}$ 是 $sp (1)$ 与 so(3) 的同构，并以此识别这些基。

\frac{i}{2}, \frac{j}{2}, \frac{k}{2} and l_{1}, l_{2}, l_{3}

注意，满足简单交换关系的是 $\frac{i}{2}, \frac{j}{2}, \frac{k}{2}$

[\frac{i}{2}, \frac{j}{2}] = \frac{k}{2}, [\frac{j}{2}, \frac{k}{2}] = \frac{i}{2}, [\frac{k}{2}, \frac{i}{2}] = \frac{j}{2}

6.2.4 自旋群与 SU(2)

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 李代数 · 泡利矩阵 · 李群 · 复化

与使用具有非交换性和特殊乘法律的四元数进行计算相比，更常规的做法是在四元数 $H$ 与一个2乘2复矩阵空间之间选取一个同构，并使用矩阵乘法和复数进行运算。泡利矩阵可用于给出这样的同构，取

1 \to 1 = (1001), i \to - i σ_{1} = (0 - i - i 0), j \to - i σ_{2} = (01 - 1 0)

k \to - i σ_{3} = (- i 0 0 i)

$H$ 与 2 乘 2 复矩阵之间的对应关系由下式给出

q = q_{0} + q_{1} i + q_{2} j + q_{3} k \leftrightarrow (q_{0} - i q_{3} q_{2} - i q_{1} - q_{2} - i q_{1} q_{0} + i q_{3})

由于

d e t (q_{0} - i q_{3} q_{2} - i q_{1} - q_{2} - i q_{1} q_{0} + i q_{3}) = q_{0}^{2} + q_{1}^{2} + q_{2}^{2} + q_{3}^{2}

我们看到，四元数上的长度平方函数对应于 2 乘 2 复矩阵上的行列式函数。取 $q \in S p (1)$ ，即长度为 1，则对应的复矩阵属于 $S U (2)$

在这种将 $H$ 与 2 乘 2 复矩阵等同的对应下，我们得到李代数 sp $(1) = su (2)$ 的等同，即纯虚四元数与无迹的斜厄米 2 乘 2 复矩阵之间的等同。

w = w_{1} i + w_{2} j + w_{3} k \leftrightarrow (- i w_{3} w_{2} - i w_{1} - w_{2} - i w_{1} i w_{3}) = - i w \cdot σ

$sp (1)$ 的基 $\frac{i}{2}, \frac{j}{2}, \frac{k}{2}$ 与李代数 $su (2)$ 的一个基等同起来，而该基用泡利矩阵写出即为

X_{j} = - i \frac{σ _{j}}{2}

其中 $X_{j}$ 满足对易关系

[X_{1}, X_{2}] = X_{3}, [X_{2}, X_{3}] = X_{1}, [X_{3}, X_{1}] = X_{2}

它们与so(3)的交换关系完全相同

[l_{1}, l_{2}] = l_{3}, [l_{2}, l_{3}] = l_{1}, [l_{3}, l_{1}] = l_{2}

我们现在有三个同构的李代数 $sp (1) = su (2) = so (3)$ ，其中的元素按如下方式等同

(w_{1} \frac{i}{2} + w_{2} \frac{j}{2} + w_{3} \frac{k}{2}) \leftrightarrow - \frac{i}{2} (w_{3} w_{1} + i w_{2} w_{1} - i w_{2} - w_{3}) \leftrightarrow 0 w_{3} - w_{2} - w_{3} 0 w_{1} w_{2} - w_{1} 0

这个同构通过以下方式识别基向量：

\frac{i}{2} \leftrightarrow - i \frac{σ _{1}}{2} \leftrightarrow l_{1}

等等。这些等同中的第一个来自我们将 $H$ 与2乘2复矩阵等同的方式。第二个等同是 $Φ^{'}$ ，即覆盖映射 $Φ$ 在恒等元处的导数。

在每一个这些同构的李代数上，我们都有伴随李群（Ad）表示和李代数 $(a d)$ 表示。 $A d$ 由在 $S p (1), S U (2)$ 和 $S O (3)$ 中相应群元素进行的共轭给出。ad 由在纯虚四元数、迹为零的斜厄米 2 乘 2 复矩阵以及 3 乘 3 实反对称矩阵的各自李代数中取对易子给出。

注意，这三个李代数都是三维实向量空间，因此这些都是实表示。要得到复表示，取元素的复线性组合。在 $su (2)$ 的情形下，这比 $sp (1)$ 的情形更不容易混淆，因为取无迹厄米共轭 2 乘 2 复矩阵的复线性组合会得到所有无迹 2 乘 2 矩阵（李代数 $sl (2, C))$ ）。

此外，回忆到该表示还有第四个同构版本，即 $S O (3)$ 在列向量上的表示。这也是一个实表示，但可以直接复化。由于 $so (3)$ 与 $su (2)$ 是同构的李代数，它们的复化 $(3)_{C}$ 与 $sl (2, C)$ 也将是同构的。

就 2 乘 2 复矩阵而言，李代数元素可以取指数以得到 $S U (2)$ 中的群元素，并定义

Ω (θ, w) = e^{θ (w_{1} X_{1} + w_{2} X_{2} + w_{3} X_{3})} = e^{- i \frac{θ}{2} w \cdot σ} (6.3)

= 1 cos \frac{θ}{2} - i (w \cdot σ) sin \frac{θ}{2} (6.4)

将定理 6.1 的论证从 $H$ 转置到复矩阵，可以发现，若将

v \leftrightarrow v \cdot σ = (v_{3} v_{1} + i v_{2} v_{1} - i v_{2} - v_{3})

人们有

Φ (Ω (θ, w)) = R (θ, w)

其中 $Ω (θ, w)$ 通过共轭作用，取

v \cdot σ \to Ω (θ, w) (v \cdot σ) Ω (θ, w)^{- 1} = (R (θ, w) v) \cdot σ (6.5)

注意，在从四元数情形转换到复情形时，我们对因子 2 的处理方式不同，因为今后我们将希望使用 $Ω (θ, w)$ 来执行角度为 $θ$ 的旋转。根据等同关系 $S U (2) = S p (1)$ ，我们有 $Ω (θ, w) = u (\frac{θ}{2}, w)$

回忆一下，任何 $S U (2)$ 矩阵都可以写成以下形式

(α - \overline{β} β \overline{α}) α = q_{0} - i q_{3}, β = - q_{2} - i q_{1}

其中 $α, β \in C$ 为满足 $∣ α ∣^{2} + ∣ β ∣^{2} = 1$ 的任意复数。用这种显式的 $S U (2)$ 矩阵表示映射 $Φ : S U (2) \to S O (3)$ 的一个不太具有启发性的公式由下式给出

Φ (α - \overline{β} β \overline{α}) = Re (α^{2} - β^{2}) - Im (α^{2} - β^{2}) 2 Re (α \overline{β}) Im (α^{2} + β^{2}) Re (α^{2} + β^{2}) 2 Im (α \overline{β}) - 2 Re (α β) 2 Im (α β) ∣ α ∣^{2} - ∣ β ∣^{2}

关于导子，参见[83]第123–4页。

来源与版本

正文：中文 · 机器译稿 · 待校对

核对状态：机器译稿 · 待校对

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

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译稿产物 SHA-256：f31c4a67cfd86cd5eb95ec97e4fde28d933624c6f44cc8ea95bb0fbd31d11d39

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6.2 三维和四维中的自旋群