对称算符 (symmetric operator)

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§5.1 · zh-CN · translation · unreviewed

习题 5.4

定义“对称算符(symmetric operator) $S:V\to V$”这一概念为满足以下条件的算符：

$$(Su)\cdot v=u\cdot (Sv)\text{ for all }u,v\in V.$$

证明这导致该分量方程

$$S_i^k{g}_{kj}=g_{ik}{S}_j^k,$$

等价于矩阵方程

$${\mathsf{S}}^T\mathsf{G}=\mathsf{GS}.$$

证明：在欧氏空间中，对于标准正交基，这导致通常的对称性概念，但在伪欧氏空间中则不成立。

§13.6 · zh-CN · translation · unreviewed

如果 $A=A^{\ast }$，则称稠密域上的算符 $\left(A,D_A\right)$ 是自伴的(self-adjoint)。这意味着不仅两边的定义域上都有 $Au=A^{\ast }u$，而且两个定义域是相等的，$D_A=D_{A^{\ast }}$ .根据定理 13.21，每个自伴算符都是闭的。这不是将厄米算符概念推广到无界算符的唯一定义。下面的定义也很有用。在 $\mathcal{H}$ 中，如果对任意的 $u,v\in D_A$，都有 $⟨Au\mid v⟩=⟨u\mid Av⟩$ ，则稠定算子 $\left(A,D_A\right)$ 称为对称算符(symmetric operator)。

§13.6 · en · original_transcription · unreviewed

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