正规序乘积 (Normal ordered product)

别名：normal ordered product

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Woit · 2025-10-20

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§24.3 · zh-CN · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

定义（ 正规序乘积(normal ordered product)）

给定由 $a$、$a^{†}$ 构成的乘积 $P$，其正规序形式记作 $:P:$，定义为把所有 $a^{†}$ 因子移到所有 $a$ 因子的左侧。例如，

$$:a^2{a}^{†}a(a^{†}{)}^3:=(a^{†}{)}^4{a}^3.$$

对哈密顿算符 $H$，可以选取正规序形式

$$:H:=:\frac{1}{2}(a{a}^{†}+a^{†}a):=a^{†}a.$$

它在 $|0⟩$ 上作用为零，并且在 $\mathcal{F}$ 上的特征值为整数而非半整数。将它指数化后得到 $U(1)$ 的表示，不再有符号歧义，因此无须引入双覆盖。缺点是，$:H:$ 给出 $\mathfrak{u}(1)$ 的表示，却不能延拓为 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$ 的表示。

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Definition ( Normal ordered product)

Given any product $P$ of the operators $a$ and $a^{†}$, its normal-ordered form, written $:P:$, is obtained by moving every factor $a^{†}$ to the left of every factor $a$. For example,

$$:a^2{a}^{†}a(a^{†}{)}^3:=(a^{†}{)}^4{a}^3.$$

For the Hamiltonian $H$, the normal-ordered version

$$:H:=:\frac{1}{2}(a{a}^{†}+a^{†}a):=a^{†}a$$

may be chosen. It acts trivially on $|0⟩$ and has integer rather than half-integer eigenvalues on $\mathcal{F}$. Exponentiating it gives a representation of $U(1)$ with no sign ambiguity, so no double cover is needed. The disadvantage is that $:H:$ represents $\mathfrak{u}(1)$ but does not extend to a representation of $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{R})$.

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