24.3 选择 z, z 的蕴含

24.3 选择 z, z 的蕴含

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 特征值 · 圆群 U(1) · 李括号 · 复化

湮灭算符和产生算符的定义需要做出一个具体选择，在我们的情形中

$$\overline{z}=\frac{1}{\sqrt{2}}(q+ip),z=\frac{1}{\sqrt{2}}(q-ip)$$

对于相空间上的复化坐标，这一选择在量子化之后成为

$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q+iP),a^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}(Q-iP)$$

除了相空间 $M$ 上坐标的复化之外，$z$ 的选择还为问题引入了一个新的结构要素。在第 26 章中，我们将考察其他可能的、与此一致的此类选择，这里只指出这种额外结构出现的各种不同方式。

• 海森堡群的薛定谔表示并不带有任何特别指定的态。与之酉等价的巴格曼-福克表示则确实带有一个特别指定的态，即常函数 1。它对数算符 $N=a^{†}a$ 具有零特征值，因此可以被视为具有零“量子”的态，或称“真空”态，并可写作 |0⟩。这样的常函数也可以（在标量乘法意义下）被刻画为满足以下条件的态

$$a|0⟩=0$$

• 坐标 $z$ 和 $\overline{z}\mathrm{gives}$ 的选择给出一个特殊的哈密顿函数选择，$h=z\overline{z}$ 。量子化后，这对应于一个特殊的哈密顿算符选择

$$H=\frac{1}{2}(a^{†}a+a{a}^{†})=a^{†}a+\frac{1}{2}=N+\frac{1}{2}$$

在这种选择下，指定的态 |0⟩ 将成为 $H$ 的一个特征态，其特征值为 $\frac{1}{2}$。

• 坐标$z$的选择给出一个分解

$$\mathcal{M}\otimes \mathbf{C}=\mathbf{C}\oplus \mathbf{C}\text{\hspace{1em}(24.10)}$$

其中第一个子空间 $C$ 的基向量为 $z,$，第二个子空间的基向量为 $z$。

• 分解 24.10 挑出一个子群 $U(1)\subset SL(2,\mathbf{R})$，即那些保持该分解的辛变换。就坐标 $z,\overline{z},$ 而言，给出 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$ 在 $\mathcal{M}$ 上作用的李括号关系 16.15 变为

$$\{z\overline{z},z\}=-iz,\{z\overline{z},\overline{z}\}=i\overline{z}$$ $$\left\{\frac{z^2}{2},z\right\}=0,\left\{\frac{z^2}{2},\overline{z}\right\}=iz$$ $$\left\{\frac{{\overline{z}}^2}{2},z\right\}=-i\overline{z},\left\{\frac{{\overline{z}}^2}{2},\overline{z}\right\}=0$$

sl(2, $R$) 的唯一不混合 $z$ 与 $\overline{z}$ 坐标的基元素是 $z\overline{z}.$。我们已经看到（见方程 24.1），在指数化后，这个基元素给出 SL(2, $R$) 的如下形式的矩阵构成的子群

$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

• z、$z$ 中多项式的量子化涉及算符排序的歧义，因为 a 与 $a^{†}$ 不对易。这可以通过以下特定选择来解决，该选择依赖于 $z$ 和 $\overline{z}:$ 的选择

定义

正规乘积

给定任意由 a 与 $a^{†}$ 算符构成的乘积 $P$，$P_z$ 的正规乘积记作 $:P:$，其定义为重新排列该乘积，使所有因子 $a^{†}$ 位于 $left$，所有因子 a 位于右侧，例如

$$:a^2{a}^{†}a(a^{†}{)}^3:=(a^{†}{)}^4{a}^3$$

对于哈密顿算子 $H_{;}$ 的情形，正规序版本

$$:H:=:\frac{1}{2}(a{a}^{†}+a^{†}a):=a^{†}a$$

可以这样选取。其优点在于，它平凡地作用于|0⟩，并且在$\mathcal{F}.$上具有整数而非半整数特征值。取指数后，便得到$U(1)$的一个表示，没有符号歧义，因而无需引入双重覆盖。缺点在于，$:H:$给出$u(1)$的一个表示，而该表示不能延拓为sl(2, $R$)的表示。

上一节：24.2 用 a 和 a ^ 表示的交织算符 · 下一节：24.4 SU(1, 1) 与 Bogoliubov 变换 · English version

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来源版本：2025-10-20

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