24 辛表示与湮灭算符和产生算符，d = 1

在 22.4 节中我们看到，湮灭算符和产生算符将相空间上的复化坐标函数 $\overline{z},z$ 量子化，从而给出复化海森堡李代数 ${\mathfrak{h}}_3\otimes \mathbf{C}$ 的一个表示。在本章中我们将看到 $\overline{z},z.$ 的二次组合会发生什么，这些组合在量子化后给出湮灭算符和产生算符的二次组合。这些提供了 $\mathfrak{sl}(2,\mathbf{R})$ 的元辛表示的 Bargmann-Fock 实现，该表示曾在 17.1 节中使用薛定谔实现进行研究。利用湮灭算符和产生算符，可以容易地看出指数化二次算符的作用带有符号歧义（这要求引入 $SL(2,\mathbf{R}))$ 的一个双覆盖）。

元plectic表示给出了Heisenberg群通过自同构作用的$SL(2,\mathbf{R})$作用下的交织算符。使用湮灭算符和产生算符来构造这些算符引入了一个额外的结构，特别是挑选出一个特殊的子群$U(1)\subset SL(2,\mathbf{R})$。保持对易关系（从而作为Heisenberg李代数结构的自同构作用）的$a,a^{†}$的线性变换，在物理学家中被称为“Bogoliubov变换”。它们自然地用群$SL(2,\mathbf{R})$的一种不同的、同构的形式来描述，这是一个复矩阵群，记作$SU(1,1)$。

English contents

本章目录

• 24.1 用 a 和 a ^ 表示的 d=1 的metaplectic表示
• 24.2 用 a 和 a ^ 表示的交织算符
• 24.3 选择 z, z 的蕴含
• 24.4 SU(1, 1) 与 Bogoliubov 变换
• 24.5 进一步阅读

上一章：23 谐振子的相干态与传播子

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来源版本：2025-10-20

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