Inner product, complex case

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Woit · 2025-10-20

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Definition · Inner product, complex case

Definition (Inner product, complex case). A Hermitian inner product on a complex vector space $V$ is a map

$$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to \mathbf{C}$$

that is conjugate symmetric

$$⟨v,w⟩=\overline{⟨w,v⟩}$$

non-degenerate in both variables, linear in the second variable, and antilinear in the first variable: for $\alpha \in \mathbf{C}$ and $u,v,w\in V$.

$$⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩,⟨\alpha u,v⟩=\overline{\alpha }⟨u,v⟩$$

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