算符的逆 (inverse operator)

别名：inverse；逆

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已登记出处中的最早位置：§13.4 · zh-CN。

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来源短摘录与定位

§13.4 · zh-CN · translation · unreviewed

对一个有界算符$A:V\to V$而言，如果存在$A^{-1}:V\to V$，使得$A{A}^{-1}=A^{-1}A={\mathrm{id}}_V$，那么$A$称为可逆的(invertible)，$A^{-1}$称为$A$的逆(inverse)，显而易见是唯一的，因为如果$BA=CA$，那么$B=BI=BA{A}^{-1}=CA{A}^{-1}=C$。我们需要指明的是，$A^{-1}$既是一个左逆又是一个右逆。例如在${\ell }^2$中，在例13.8中的平移算符$S$就只有左逆$S^{\prime }$，因为$S^{\prime }S=I$，但是这不是其右逆因为$S{S}^{\prime }(x_1,x_2,x_3,\dots )=(0,x_2,x_3,\dots )$，那么$S$就不是一个可逆算符，尽管它是一个等距的单射，$\Vert Sx\Vert =\Vert x\Vert$，对于有限维空间这已经足够保证可逆性了。

§13.4 · en · original_transcription · unreviewed

A bounded operator $A:V\to V$ is said to be invertible if there exists a bounded operator $A^{-1}:V\to V$ such that $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I\equiv {\mathrm{id}}_V.A^{-1}$ is called the inverse of $A$. It is clearly unique, for if $BA=CA$ then $B=BI=BA{A}^{-1}=CA{A}^{-1}=C$ . It is important that we specify $A^{-1}$ to be both a right and left inverse. For example, in ${\ell }^2$ , the shift operator $S$ defined in Example 13.8 has left inverse $S^{\prime }{}_{;}$ , since $S^{\prime }S=I$ , but it is not a right inverse for $S{S}^{\prime }(x_1,x_2,\dots )=(0,x_2,x_3,\dots )$ . Thus $S$ is not an invertible operator, despite the fact that it is injective and an isometry, $\Vert Sx\Vert =\Vert x\Vert$ . For a finite dimensional space these conditions would be enough to guarantee invertibility.

原文中已定位的引用（不自动视为依赖）

• href=“#example-13-8”
• href=“#example-13-8”

来源覆盖、定位与记录

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