Laplacian operator on differential forms

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Woit · 2025-10-20

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§33.3 · en · machine_draft · machine-draft-not-reviewed

This is the tensor product of complex-valued functions on ${\mathbb{R}}^d$, acted on by $\mathrm{Weyl}(2d,\mathbb{C})$, and anticommuting functions on ${\mathbb{C}}^d$, acted on by $\mathrm{Cliff}(2d,\mathbb{C})$. The mutually adjoint operators $Q_{+},Q_{-}$ square to zero. Mathematicians recognize this space as the complex differential forms ${\Omega }^{\ast }({\mathbb{R}}^d)$, where the degree ranges from $0$ (functions) to $d$. The de Rham differential $d$ squares to zero. The Euclidean inner product induces a Hermitian inner product on forms by integration; the adjoint $\delta$ of $d$ also squares to zero. The Laplacian operator on differential forms is

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