Einstein求和约定 (Einstein summation convention)

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Woit · 2025-10-20

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拓展 · 上指标与下指标

在许多物理学文献中，在讨论狭义相对论时，习惯上使用上指标和下指标来书写公式，二者通过以下关系相联系：

$$x_{\mu }=\sum _{\nu =0}^3{\eta }_{\mu \nu }{x}^{\nu }={\eta }_{\mu \nu }{x}^{\nu }$$

其中最后一个形式使用了Einstein求和约定(Einstein summation convention)。

引入上指标与下指标的一个动机是：狭义相对论是广义相对论的极限情形，而广义相对论是一种完全几何化的理论，其基础是把时空视为一个流形 $M$，并带有一个逐点变化的度量 $g$。在这样的理论中，重要的是区分点 $x\in M$ 处的切空间 $T_x(M)$ 的元素与其对偶余切空间 $T_x^{\ast }(M)$ 的元素，同时利用度量 $g$ 在 $T_x(M)$ 上给出一个内积，从而给出一个同构 $T_x(M)\simeq T_x^{\ast }(M)$ 这一事实。在狭义相对论的情形中，$T_x(M)$ 与 $T_x^{\ast }(M)$ 之间的这种区分仅仅归结为一个符号问题，但上指标与下指标记号对于跟踪这些符号很有用。

第二个动机是位置与动量自然地生活在对偶向量空间中，因此人们希望区分位置向量空间$M^4$与动量的对偶向量空间。然而，对于像$M^4$这样带有固定内积${\eta }_{\mu \nu }$的向量空间，这个内积给出了$M^4$与其对偶的一个固定等同，这个等同同时也是作为洛伦兹群的表示的等同。鉴于这个固定的等同，我们在此不会试图通过记号来区分一个向量是在$M^4$中还是在其对偶中，因此将只使用下指标，而不是同时使用上指标和下指标。

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