40 闵可夫斯基空间与洛伦兹群

对于非相对论量子力学的情形，我们看到，具有任意数目粒子（玻色子或费米子）的系统可以通过取单粒子量子理论的状态空间 ${\mathcal{H}}_1$ 作为对偶相空间来描述。这个空间是无限维的，但它是线性的，并且可以使用适用于有限维谐振子的相同技术对其进行量子化。这是量子场论的一个例子，因为被量子化的是一个函数空间。

我们希望找到某种类似的方法来处理相对论性系统，找到能够描述任意数量粒子的相对论量子场论，其能量-动量关系为狭义相对论所特有的 $E^{\bar{2}}=|\mathbf{p}{|}^2{c}^2+m^2{c}^4$，而不是非相对论极限 |$p$| ≪ mc，其中 $\begin{array}{r}E=\frac{{|\mathbf{p}|}^2}{2m}\end{array}$。一般来说，相空间可以被视为运动方程初始条件的空间，或者等价地，视为运动方程解的空间。在非相对论场论中，运动方程是时间上的一阶薛定谔方程，而相空间是在指定初始时刻的场（波函数）空间，例如 $t=0$。这个空间承载着时间平移群 $R$ 和欧氏群 $E(3)={\mathbf{R}}^3⋊SO(3)$ 的一个表示。为了构造相对论量子场论，我们希望找到这个波函数空间的类似物。它将是某种满足运动方程的函数构成的线性空间，然后我们将通过应用谐振子方法进行量子化。

正如在非相对论情形中一样，运动方程的解空间给出了理论时空对称群的表示。这个群现在将是庞加莱e群，一个十维群，包含一个四维时空平移子群，以及一个六维子群（洛伦兹群），后者结合了空间旋转与“推动变换”（混合空间坐标与时间坐标的变换）。庞加莱e群在相对论性波动方程解上的表示一般将是可约的。不可约的这种表示将是对应于基本粒子的对象。本章将处理洛伦兹群本身，第41章处理其表示，第42章将转向庞加莱e群及其表示。

English contents

本章目录

• 40.1 闵可夫斯基空间
• 40.2 洛伦兹群及其李代数
• 40.3 闵可夫斯基空间中的傅里叶变换
• 40.4 自旋与洛伦兹群
• 40.5 延伸阅读

上一章：39 无限维相空间的量子化

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来源版本：2025-10-20

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