40.1 闵可夫斯基空间

40.1 闵可夫斯基空间

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 对偶空间

狭义相对论基于这样一个原理：应当将空间与时间一并考虑，并把它们视为一个具有不定内积的四维空间${\mathbf{R}}^4$：

定义（闵可夫斯基空间）

闵可夫斯基空间 $M^4$ 是带有由下式给出的不定内积的向量空间 ${\mathbf{R}}^4$

$$(x,y)\equiv x\cdot y=-x_0{y}_0+x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$$

其中 $(x_0,x_1,x_2,x_3)$ 是 $x\in {\mathbf{R}}^4,(y_0,y_1,y_2,y_3)$ 的坐标，$y\in {\mathbf{R}}^4$ 的坐标

题外话。我们选择使用 − + ++ 而非 $the+--$ 符号约定，理由如下：

• 将时间变量$x_0$解析延拓到ix₀，得到一个正定内积。

• 限制到空间分量时，与先前关于欧几里得空间 $E(3)$ 对称性的公式相比没有变化

• 只有对于这一选择，我们才会得到实（而非复）旋量表示（因为 $\mathrm{Cliff}(3,1)=M(4,\mathbf{R})\ne \mathrm{Cliff}(1,3))$ 。

• 温伯格的量子场论教科书 $[100]$ 采用这一约定（不过，与他不同，我们将第 0 个分量放在最前面）。

这个内积有时也会用矩阵来书写

$${\eta }_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

作为

$$x\cdot y=\sum _{\mu ,\nu =0}^3{\eta }_{\mu \nu }{x}_{\mu }{y}_{\nu }$$

题外话（上指标与下指标）。在许多物理学文献中，在讨论狭义相对论时，习惯上使用上指标和下指标来书写公式，二者通过以下关系相联系：

$$x_{\mu }=\sum _{\nu =0}^3{\eta }_{\mu \nu }{x}^{\nu }={\eta }_{\mu \nu }{x}^{\nu }$$

其中最后一个形式使用了爱因斯坦求和约定。

引入上指标与下指标的一个动机是：狭义相对论是广义相对论的极限情形，而广义相对论是一种完全几何化的理论，其基础是把时空视为一个流形 $M$，并带有一个逐点变化的度量 $g$。在这样的理论中，重要的是区分点 $x\in M$ 处的切空间 $T_x(M)$ 的元素与其对偶余切空间 $T_x^{\ast }(M)$ 的元素，同时利用度量 $g$ 在 $T_x(M)$ 上给出一个内积，从而给出一个同构 $T_x(M)\simeq T_x^{\ast }(M)$ 这一事实。在狭义相对论的情形中，$T_x(M)$ 与 $T_x^{\ast }(M)$ 之间的这种区分仅仅归结为一个符号问题，但上指标与下指标记号对于跟踪这些符号很有用。

第二个动机是位置与动量自然地生活在对偶向量空间中，因此人们希望区分位置向量空间$M^4$与动量的对偶向量空间。然而，对于像$M^4$这样带有固定内积${\eta }_{\mu \nu }$的向量空间，这个内积给出了$M^4$与其对偶的一个固定等同，这个等同同时也是作为洛伦兹群的表示的等同。鉴于这个固定的等同，我们在此不会试图通过记号来区分一个向量是在$M^4$中还是在其对偶中，因此将只使用下指标，而不是同时使用上指标和下指标。

坐标 $x_1,x_2,x_3$ 被解释为空间坐标，而坐标 $x_0$ 是时间坐标，它相对于所选的时间与距离单位，与通常的时间坐标 $t$ 通过 $x_0=ct$ 相联系，其中 $c$ 是光速。大多数情况下，我们将假定所选择的时间与距离单位使得 $c=1$

向量 $v\in M^4$ 若满足 $|\mathbf{v}{|}^2=\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}>0$，则称为“类空的”；满足 $|v{|}^2<0\cdot {\mathrm{time}-\mathrm{like}}^{,}$ 的向量，以及满足 $|v{|}^2=0$ 的向量，则说位于“光锥”上。略去一个空间维数后，闵可夫斯基空间应牢记的图像如下所示：

图 40.1：闵可夫斯基时空的光锥结构。

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来源版本：2025-10-20

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