Hopf 纤维化 (Hopf fibration)

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Woit · 2025-10-20

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来源短摘录与定位

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拓展

Digression. 还可以从另一角度看 $\mathbf{C}{P}^1$：分两步构造 ${\mathbf{C}}^2$ 对复数乘法的商。乘以实数会改变态的归一化；我们常利用这一自由度，把态取为满足下式的归一化态：

$$⟨\psi |\psi ⟩=|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=1.$$

这些归一化态是 ${\mathbf{C}}^2$ 中的单位向量，可由单位球面 $S^3\subset {\mathbf{R}}^4={\mathbf{C}}^2$ 上的点表示。

接下来还要商去相位乘法的作用，也就是把只相差一个 $e^{i\theta }$ 因子的 $S^3$ 中的点视为等同。所得空间常记为 $S^3/U(1)$。相位作用的轨道是彼此不相交的圆；这种以圆为纤维的结构称为Hopf 纤维化(Hopf fibration)。可以在网上搜索相关几何图像：将无穷远点加入三维空间得到 $S^3$，会得到一种由互不相交曲线构成的奇妙分解。

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Digression

Digression. One can construct the quotient defining $\mathbf{C}{P}^1$ in two steps. Multiplication by a real scalar changes the normalization of a state, so we can use this freedom to work with normalized states satisfying:

$$⟨\psi |\psi ⟩=|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=1.$$

These normalized states are unit vectors in ${\mathbf{C}}^2$, represented by points on the unit sphere $S^3\subset {\mathbf{R}}^4={\mathbf{C}}^2$.

We must still quotient by multiplication by a phase, identifying points of $S^3$ that differ by a factor $e^{i\theta }$. The resulting space is often written $S^3/U(1)$. Its circle fibers are disjoint orbits of the phase action, and this structure is called the Hopf fibration. Try searching online for visualizations of this geometry: adding a point at infinity to three-dimensional space gives $S^3$, which is surprisingly decomposed into disjoint curves.

来源覆盖、定位与记录

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