7.4 复射影空间

概念链接 · 机器稿中出现的术语；来源角色尚未核验: 向量空间 · 线性映射 · 特征值 · 群在集合上的作用

刻画具有 $H = C^{2}$ 的量子系统状态还有另一种可能的方法。将 $H$ 中的向量乘以非零复数不会改变特征向量、特征值或期望值，因此可以说没有物理效应。于是，物理上相关的是商空间 $(C^{2} - 0) / C^{*}$ ，它是通过取 $C^{2}$ 的所有非零元素，并将那些通过乘以非零复数相关联的元素等同起来而构造的。

为了对这种构造有所了解，首先考虑实数情形下的类似物，其中 $(R^{2} - 0) / R^{*}$ 可以被视为平面上所有过原点的直线的空间。

图 7.1：实射影直线 $RP^{1}$

可以看到，每一条这样的直线与单位圆交于两个相对的点，因此这个集合可以用一个半圆来参数化，并将两端的点等同起来。这个空间被命名为 $RP^{1}$ ，并称为“实射影 $line^{s}$ ”。在更高维中， $R^{n}$ 中过原点的直线构成的空间称为 $RP^{n - 1}$ ，并且可以看作 $R^{n}$ 中的单位球面，将相对的点等同起来（回忆第 6.2.3 节， $S O (3)$ 可以与 $RP^{3})$ 等同起来。

我们感兴趣的是复类比 $C P^{1}$ ，它要难想象得多，因为从实向量空间的角度看，它是四维空间中过原点的二维平面构成的空间。在 $\overset{ˉ}{CP}^{1}$ 上选取坐标的一种标准方式是将向量

(z _{2} z _{1}) \in C^{2}

复数 $z_{1} / z_{2}$ 。总体而言，乘以一个复数在此比值中会消去，因此对于每个不同的陪集元素，坐标 $z_{1} / z_{2}$ 会得到不同的值，而 $C P^{1}$ 的元素对应于复平面上的点。然而，这个坐标存在一个问题：该点

在对应于

¹₀

没有良定义的值：当逼近该点时，人们会在复平面中趋于无穷远。在某种意义上，空间 $\overset{ˉ}{CP}^{1}$ 就是复平面，但添加了 a “无穷远点”。

$CP^{1}$ 最好不被看作一个平面连同一点，而应被看作一个球面（常称为“黎曼球面”），其与平面及无穷远点的关系由球极投影给出。这里，通过考虑从球面上一点到球面北极的直线，构造出一个一一映射。这样的直线将与平面相交于一点，并在平面上的点与球面上的点之间给出一个一一映射，北极除外。现在，北极可以等同于“无穷远点”，因此空间 $C P^{1}$ 可以等同于空间 $S^{2}$ 。图像如下

图 7.2：复射影直线 $C P^{1}$

球面上的坐标 $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 与平面上的复坐标 $z_{1} / z_{2} = z = x + i y$ 之间的关系式由下式给出

x = \frac{x _{1}}{1 - x _{3}}, y = \frac{x _{2}}{1 - x _{3}}

和

x_{1} = \frac{2 x}{x ^{2} + y ^{2} + 1}, x_{2} = \frac{2 y}{x ^{2} + y ^{2} + 1}, x_{3} = \frac{x ^{2} + y ^{2} - 1}{x ^{2} + y ^{2} + 1}

图 7.3：通过球极投影映射在 $C P^{1} - {\infty}$ 上的复值坐标。

题外话。关于 $C P^{1}$ 的另一种观点，分两步构造 $C^{2}$ 对复标量的商。乘以实标量对应于态归一化的改变，我们常常利用这一自由度来处理归一化态，即满足

⟨ ψ ∣ ψ ⟩ = z_{1} \overline{z}_{1} + z_{2} \overline{z}_{2} = 1

这样的归一化态是 $C^{2}$ 中的单位长度向量，它们由单位球面 $S^{3} \subset R^{4} = C^{2}$ 上的点给出

对于这样的归一化态，人们仍必须商去乘以相位的乘法作用，把相差一个 $e^{i θ}$ 的乘法的 $\overset{ˉ}{S}^{3}$ 元素等同起来。这些元素的集合构成一个新的几何空间，通常写作 $S^{3} / U (1)$ 。这种结构称为 a 用圆对 $S^{3}$ 的“纤维化”（相位乘法作用描出不相交的圆），并被称为“Hopf 纤维化”。不妨在网上搜索所涉及的几何结构的各种可视化，这是对三维空间的一种令人惊讶的分解（把无穷远点等同起来，从而得到 $S^{3})$ ，分解为不相交的曲线。

通过线性映射作用于 $H = C^{2}$

(z _{2} z _{1}) \to (α γ β δ) (z _{2} z _{1})

取

z = \frac{z _{1}}{z _{2}} \to \frac{α z + β}{γ z + δ}

若矩阵的行列式非零，则此类变换是可逆的，并且可以证明它们给出复平面上的共形（保角）变换，称为“ $M$ ¨obius 变换”。在第 40 章中我们将看到，这个群作用出现在狭义相对论理论中，其中对球面的作用可以理解为作用在光线空间上的变换。当上述矩阵属于 $S U (2) (γ = - \overline{β}, δ = \overline{α}$ $α \overline{α} + β \overline{β} =$ 1) 时，可以证明球面上相应的变换是 $R^{3}$ 中球面的一个旋转，从而提供了另一种方式来理解 $S U (2) = S p in (3)$ 作为旋转群 $S O (3)$ 的双覆盖的性质。

来源与版本

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来源版本：2025-10-20

来源 PDF SHA-256：5a1941b2443b54d5db3d055f1e5ba390429b7a728475258017aaac87ee85a837

OCR 来源 SHA-256：bfb0bda113ac1733dd883dd63c618e40cc1f08b1a13e7fa976c698e605889637

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