3.6 求和约定与基变换

求和约定

在上述公式中，对诸如 $i$ 或 $j$ 这类指标的求和，总是出现在一对相等的指标上，且这两个指标分别处于上标与下标位置。当然，同一层级上的指标之间进行求和并非不可设想，但正如我们将看到的，这不太可能以自然的方式发生。事实上，这种现象出现得如此有规律，以至于只要同一指标 $i$ 出现在相反位置，就可以省去求和符号 $\sum_{i = 1}^{n}$ ，而不会引起任何严重的误解；这一约定最初由阿尔伯特·爱因斯坦（1879–1955）在广义相对论理论中提出，在该理论中，使用张量微积分时会反复出现多个此类求和符号（见第18章）。爱因斯坦求和约定(summation convention)的主要规则是：

如果在任何表达式中，一个上标与一个下标相同，则假定这些指标从 1 到 $n$ 求和，其中 $n$ 是空间的维数。

重复指标称为哑指标(dummy index)或束缚指标(bound index)，而单独出现的指标称为自由指标(free index)。自由指标假定在其取值范围内取所有值，并且我们省略诸如 $(i, j = 1, 2, \dots, n)$ 这样的陈述。例如，对于任意向量 $u$ 和基 ${e_{i}}$ ，可以写

u = u^{i} e_{i} \equiv i = 1 \sum n u^{i} e_{i} .

指标 $i$ 是哑指标，可以用具有相同取值范围的任何其他字母替换，

u = u^{i} e_{i} = u^{j} e_{j} = u^{k} e_{k} .

例如，按照此约定写出式 (3.6)、式 (3.7) 和式 (3.9)，

T e_{j} = T_{j}^{i} e_{i}, (3.11)

\tilde{v}^{i} = (T v)^{i} = T_{j}^{i} v^{j}, (3.12)

(S T)_{i}^{k} = S_{j}^{k} T_{i}^{j} . (3.13)

在更复杂的表达式中，例如

T^{ij k} S_{hij} \equiv i = 1 \sum n j = 1 \sum n T^{ij k} S_{hij} (h, k = 1, \dots, n)

$i$ 和 $j$ 是哑指标，而 $h$ 和 $k$ 是自由指标。可以替换哑指标。

T^{i l k} S_{hi l} or T^{mik} S_{hmi}, etc.

不以任何方式改变表达式的含义。在此类替换中，可以使用字母表中除该表达式中已用作自由指标的字母之外的任何字母，但始终应限于某一指定字母表，例如罗马字母、希腊字母、大写罗马字母等，有时甚至应限于某一特定字母范围。

指标不应在同一水平上重复，特别地，任何指标在任何表达式中都不得出现超过两次。如果在 $V^{j} T_{ij}$ 中将哑指标 $j$ 替换为已经出现的自由指标 $i$ ，从而得到不允许的 $V^{i} T_{ii}$ ，就会出现这种情况。尽管诸如 $V_{j} T_{ij}$ 这样的表达式不应出现，但也可能有例外；例如，在笛卡尔张量中，所有指标都处于下标位置，而求和约定常被修改为适用于诸如 $V_{j} T_{ij} \equiv \sum_{j = 1}^{n} V_{j} T_{ij}$ 这样的表达式。

在涉及带指标表达式的等式中，给定的自由指标在等式中的每个表达式上应出现在相同的位置，即同为上标或同为下标。例如，以下均为除非有补充说明否则不允许的等式示例：

T^{i} = S_{i}, T^{j} + U_{j} F^{j k} = S^{j}, T_{k}^{k k} = S^{k} .

方程中的自由指标可以改为任何尚未在该方程的任何部分中用作哑指标的符号。不过，这种改变必须同时在方程中出现的所有表达式中进行。例如，方程

Y_{j} = T_{j}^{k} X_{k}

可替换为

Y_{i} = T_{i}^{j} X_{j}

且不改变其含义，因为这两个方程都是对 $n$ 个方程的简写。

Y_{1} = T_{1}^{1} X_{1} + T_{1}^{2} X_{2} + \dots + T_{1}^{n} X_{n}

Y_{n} = T_{n}^{1} X_{1} + T_{n}^{2} X_{2} + \dots + T_{n}^{n} X_{n} .

在求和约定中，最有用的恒等式之一涉及由下式定义的克罗内克符号(Kronecker delta) $δ_{j}^{i}$

δ_{j}^{i} = {10 if i = j, if i \neq = j . (3.14)

这些是单位矩阵的分量， $I = [δ^{i}_{j}]$ 。这是恒等算子 $id_{V}$ 关于任意基 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ 的矩阵。克罗内克符号常充当“指标替换算子”；例如，

T_{k}^{ij} δ_{i}^{m} = T_{k}^{mj}, T_{k}^{ij} δ_{l}^{k} = T_{l}^{ij}, T_{k}^{ij} δ_{j}^{k} = T_{j}^{ij} = T_{k}^{ik} .

为理解这些规则，考虑第一个方程。在左侧，指标 $i$ 是哑指标，表示从 $i = 1$ 到 $i = n$ 的求和。在此求和中，每当 $i \neq = m$ 时，由于 $δ_{i}^{m} = 0$ ，我们得不到任何贡献，而来自 $i = m$ 的贡献则得出右侧的结果。其余方程的证明类似。

对表达式 $δ_{i}^{i}$ 应加以注意。若我们暂时中止求和约定，则显然 $δ_{i}^{i} = 1$ ，但在求和约定生效时， $i$ 是哑指标，因此

δ_{i}^{i} = δ_{1}^{1} + δ_{2}^{2} + \dots + δ_{n}^{n} = 1 + 1 + \dots + 1.

因此

δ_{i}^{i} = n = dim V . (3.15)

今后，除非因某种原因附加了诸如“求和约定暂停”之类的限制条件，否则将始终假定求和约定适用。

基变换

考虑基变换

E = {e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}} ⟶ E^{'} = {e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, \dots, e_{n}^{'}} .

由定理 3.5，每个原基向量 $e_{i}$ 关于新基都有唯一的线性展开，

e_{i} = A_{i}^{j} e_{j}^{'}, (3.16)

其中 $A_{i}^{j}$ 表示向量 $e_{i}$ 关于基 $E^{'}$ 的第 $j$ 个分量。当然，这里已经采用了求和约定。

在这样的基变换下，典型向量 $v$ 的分量会发生什么变化？将式 (3.16) 代入 $v$ 的分量展开式，结果为

v = v^{i} e_{i} = v^{i} A_{i}^{j} e_{j}^{'} = v^{' j} e_{j}^{'},

哪里

v^{' j} = A_{i}^{j} v^{i} . (3.17)

这种向量 $v$ 的分量的变换规律有时被称为分量的逆变变换律(contravariant)，这是一个奇特且略显陈旧、可能有悖常理的术语。方程 (3.17) 应被视为一种“被动(passive transformation)”变换，因为只有向量的分量发生变化，而物理向量本身不变。另一方面，向量空间的线性变换 $S : V \to V$ 可被视为使实际向量发生移动，因此被称为“主动(active transformation)”变换。

尽管如此，仍可以把式 (3.17) 视为一个矩阵方程——只要我们把向量 $v$ 的分量 $v^{i}$ 和 $v^{' j}$ 表示为列向量。

v = v^{1} v^{2} ⋮ v^{n}, v^{'} = v^{'1} v^{'2} ⋮ v^{' n},

以及变换系数 $A_{i}^{j}$ 作为一个 $n \times n$ 矩阵

A = A_{1}^{1} A_{1}^{2} \dots A_{1}^{n} A_{2}^{1} A_{2}^{2} \dots A_{2}^{n} \dots \dots \dots \dots A_{n}^{1} A_{n}^{2} \dots A_{n}^{n} .

方程 (3.17) 于是可写为矩阵方程

v^{'} = Av . (3.18)

然而请注意， $A = [A_{i}^{j}]$ 是一个系数矩阵，它表示旧基 ${e_{i}}$ ，即用新基 ${e_{j}^{'}}$ 表示。它不是线性算符的分量矩阵。

例 3.24

令 $V$ 为以 ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ 为基的三维向量空间。属于 $V$ 的向量可与 $3 \times 1$ 列向量建立对应关系，其方式为
$v = v^{1} e_{1} + v^{2} e_{2} + v^{3} e_{3} ⟷ v = v^{1} v^{2} v^{3} .$
设 ${e_{i}^{'}}$ 是一个新基，定义如下
$e_{1}^{'} = e_{1}, e_{2}^{'} = e_{1} + e_{2} - e_{3}, e_{3}^{'} = e_{1} + e_{2} + e_{3} .$
求解 $e_{i}$ 并以 $e_{j}^{'}$ 表示，得到
$e_{1} = e_{1}^{'}$ $e_{2} = - e_{1}^{'} + \frac{1}{2} (e_{2}^{'} + e_{3}^{'})$ $e_{3} = \frac{1}{2} (- e_{2}^{'} + e_{3}^{'}),$
而矩阵 $A = [A_{i}^{j}]$ 的分量可利用式 (3.16) 读出，
$A = 100 - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} \frac{1}{2} .$
一般向量 $v$ 在 $e_{i}^{'}$ 基下写为
$v = v^{1} e_{1} + v^{2} e_{2} + v^{3} e_{3} = v^{1} e_{1}^{'} + v^{2} (- e_{1}^{'} + \frac{1}{2} (e_{2}^{'} + e_{3}^{'})) + v^{3} \frac{1}{2} (- e_{2}^{'} + e_{3}^{'}) = (v^{1} - v^{2}) e_{1}^{'} + \frac{1}{2} (v^{2} - v^{3}) e_{2}^{'} + \frac{1}{2} (v^{2} + v^{3}) e_{3}^{'} = v^{'1} e_{1}^{'} + v^{'2} e_{2}^{'} + v^{'3} e_{3}^{'},$
哪里
$v^{'} \equiv v^{1} v^{2} v^{3} = v^{1} - v^{2} \frac{1}{2} (v^{2} - v^{3}) \frac{1}{2} (v^{2} + v^{3}) = Av .$
我们将 $A = [A^{i}_{j}]$ 的逆矩阵记作 $A^{'} = [A^{'}_{k}^{j}] = A^{- 1}$ 。利用求和约定，逆矩阵关系
$A^{'} A = I, AA^{'} = I$
可以按分量写为

$A_{j}^{' k} A_{i}^{j} = δ_{i}^{k}, A_{k}^{i} A_{j}^{' k} = δ_{j}^{i} . (3.19)$
由式 (3.16)
$A_{k}^{' i} e_{i} = A_{k}^{' i} A_{i}^{j} e_{j}^{'} = δ_{k}^{j} e_{j}^{'} = e_{k}^{'},$
可改写为

$e_{j}^{'} = A_{j}^{' k} e_{k} . (3.20)$

随文练习

由式 (3.19) 或式 (3.20) 推导向量分量的逆变换律

$v^{i} = A_{j}^{' i} v^{j} . (3.21)$

现在我们可以推导线性算符 $T : V \to V$ 的分量的变换律。 $T$ 关于新基的矩阵分量，记作 $T^{'} = [T^{'}_{i}^{j}]$ ，由下式给出

T e_{i}^{'} = T_{i}^{' j} e_{j}^{'},

并且利用式 (3.16) 和式 (3.20)，我们有

T e_{i}^{'} = T (A_{i}^{' k} e_{k}) = A_{i}^{' k} T e_{k} = A_{i}^{' k} T_{k}^{m} e_{m} = A_{i}^{' k} T_{k}^{m} A_{m}^{j} e_{j}^{'} .

因此

T_{i}^{' j} = A_{m}^{j} T_{k}^{m} A_{i}^{' k}, (3.22)

或用矩阵记号表示，因为 $A^{'} = A^{- 1}$

T^{'} = ATA^{'} = ATA^{- 1} . (3.23)

方程 (3.23) 是被动观点——它表示在基变换下算符分量的变化。然而，换一种解释，方程 (3.23) 可视为一个算符方程。如果我们把基 ${e_{1}, \dots, e_{n}}$ 视为固定的，并将 $A$ 看作表示一个算符的矩阵，该算符对向量分量的作用由

v^{' i} = A_{j}^{i} v^{j} ⟺ v^{'} = Av,

那么式 (3.23) 表示一种算符变换，称为相似变换(similarity transformation)。若 $x^{'} = A x, y^{'} = A y$ ，则

y^{'} = A T x = A T A^{- 1} A x = T^{'} x^{'},

且 $T^{'} = A T A^{- 1}$ 是将任意一对原本通过算符 $T$ 相关联的向量 $x$ 与 $y$ 在 $A$ 下的变换联系起来的算符。这称为式 (3.23) 的主动观点。在物理学中，这两种观点常常被混淆，主要是因为算符通常与其矩阵等同起来。下面的例子应有助于澄清任何残留的困惑。

例 3.25

考虑在 $R^{2}$ 中坐标轴转过角 $θ$ 的顺时针旋转，
$e_{1}^{'} = cos θ e_{1} - sin θ e_{2} e_{2}^{'} = sin θ e_{1} + cos θ e_{2} ⟺ e_{1} = cos θ e_{1}^{'} + sin θ e_{2}^{'} e_{2} = - sin θ e_{1}^{'} + cos θ e_{2}^{'} .$
该基变换的矩阵为
$A = [A_{j}^{i}] = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$
以及任意位置向量的分量
$x = (y x)$
(b)

图 3.1 变换的主动观点与被动观点

图 3.2 相似变换的主动观点

变化
$x^{'} = Ax ⟺ x^{'} = cos θ x - sin θ y y^{'} = sin θ x + cos θ y .$
这是被动观点。另一方面，若将 $A$ 视为某个算符在固定轴 $e_{1}, e_{2}$ 下的分量矩阵，则它表示空间沿逆时针方向物理旋转角度 $θ$ ，与被动观点中坐标轴的旋转方向相反。图 3.1 展示了这两种观点的表面等价性，而图 3.2 则说明了相似变换 $T^{'} = A T A^{- 1}$ 对线性算符 $T : R^{2} R^{2}$ 的主动观点。

习题

习题 3.11

设 ${e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ 是三维向量空间 $V$ 的一组基。证明由下式定义的向量 ${e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, e_{3}^{'}}$
$e_{1}^{'} = e_{1} + e_{3} e_{2}^{'} = 2 e_{1} + e_{2} e_{3}^{'} = 3 e_{2} + e_{3}$
也构成 $V .$ 的一组基

式 (3.16) 中矩阵 $A = [A_{i}^{j}]$ 的元素是什么？计算该向量的分量
$v = e_{1} - e_{2} + e_{3}$
关于基 ${e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, e_{3}^{'}}$ ，并验证列向量变换 $v^{'} = A v$

习题 3.12

设 $T : V \to W$ 是向量空间 $V$ 与 $W$ 之间的线性映射。 $If {e_{i} ∣ i = 1, \dots, n}$ 是 $V$ 的一个基， ${f_{a} ∣ a = 1, \dots, m}$ 是 $W_{i}$ 的一个基，则在基变换下，问题 3.9 中定义的矩阵 $T$ 如何变换
$e_{i} = A_{i}^{j} e_{j}^{'}, f_{a} = B_{a}^{b} f_{b}^{'} ?$
请分别用分量记法和矩阵记法表示你的答案。

习题 3.13

设 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 是三维向量空间的一个基， $e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, e_{3}^{'}$ 是另一个由下式给出的基
$e_{1}^{'} = e_{3}, e_{2}^{'} = e_{2} + 2 e_{3}, e_{3}^{'} = e_{1} + 2 e_{2} + 3 e_{3} .$
(a) 用 $e_{j}^{'}$ 表示 $e_{i}$ ，并写出变换矩阵 $A = [A^{i}_{j}]$ 和 $A^{'} = A^{- 1} = [A^{' i}_{j}] .$

(b) 若 $u = e_{1} + e_{2} + e_{3}$ ，计算其在 $e_{i}^{'}$ 基下的分量。

(c) 设 $T$ 为由下式定义的线性变换
$T e_{1} = e_{2} + e_{3}, T e_{2} = e_{3} + e_{1}, T e_{3} = e_{1} + e_{2} .$
$T$ 关于基 $e_{i} ?$ 的分量矩阵是什么

(d) 通过用 $e_{j}^{'}$ 表示 $T e_{1 :}^{'}$ 等进行计算，写出 $T$ 关于 $e_{j}^{'}$ 基的分量矩阵，并验证相似变换 $T^{'} = AT A^{- 1}$

Szekeres · 数学物理

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3.6 求和约定与基变换

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基变换

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