第十二章 · 分布理论

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在物理学以及某些工程领域中，人们已普遍使用某些“函数”，例如具有以下性质的狄拉克函数$\delta (x)$

$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\mathrm{d}x=f(0)$$

对一切连续函数 $f(x)$。若令 $f(x)$ 为一个连续函数，它除在一个小区间 $(a-ϵ,a+ϵ)$ 上之外处处为零，而在该区间上 $f>0$，则可得 $\delta (a)=0$ 对所有 $a\ne 0.$ 成立。然而，令 $f(x)=1$ 蕴含 $\begin{array}{r}\int \delta (x)\mathrm{d}x=1\end{array}$，因此我们必须给 $\delta (0)$ 赋予一个无穷值。

$$\delta (x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if}x\ne 0,\\ \infty & \text{if}x=0.\end{array}\text{\hspace{1em}(12.1)}$$

就目前而言，这确实行不通，因为 $\delta$ 函数几乎处处为零，因此应赋予其勒贝格积分零。本章的目标是给出这类“广义函数”的严格定义，以避免这些矛盾。

从直观意义上，我们可以把狄拉克函数视为一列函数的“极限”（见图 12.1），例如

$${\phi }_n(x)=\{\begin{array}{ll}2n& \text{ if }|x|\le 1/n\\ 0& \text{ if }|x|>1/n\end{array}$$

或高斯函数

$${\psi }_n(x)=\frac{1}{n\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2/n^2}.$$

勒贝格控制收敛定理不适用于这些序列，然而积分的极限显然是 1，并且对于任意连续函数 $f(x)$，不难证明

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x){\phi }_n(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x){\psi }_n(x)dx=f(0).$$

然而，我们不试图在某种意义下将狄拉克型函数定义为极限函数。相反，遵循洛朗·施瓦茨的做法，我们将它们定义为在适当定义的正则试验函数空间上的连续线性泛函。这种方法称为分布理论[1–6]。

图 12.1 作为函数极限的狄拉克函数

本章目录

• 12.1 试验函数与分布
• 12.2 分布上的运算
• 12.3 傅里叶变换
• 12.4 格林函数

概念索引

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12.1 试验函数与分布

• 支集support
• 紧支集compact support
• 无穷次可微infinitely differentiable
• 试验函数空间test function space
• 有限阶分布distribution of order
• 分布distribution
• 局部可积locally integrable
• 密度density
• 正则分布regular distribution
• 奇异分布singular distribution
• 弱收敛weak convergence

12.2 分布上的运算

• 分布导数distributional derivative
• 亥维赛德阶跃函数Heaviside step function

12.3 傅里叶变换

• 傅里叶变换Fourier transform
• 傅里叶逆变换inverse Fourier transform
• 快速下降函数rapidly decreasing function
• 缓增分布tempered distribution

12.4 格林函数

• 格林函数Green’s function
• 出射波条件outgoing wave condition
• 推迟格林函数retarded Green’s function
• 入射波条件ingoing wave condition
• 超前格林函数advanced Green’s function