12.3 傅里叶变换

English

对任意函数 $\phi (x)$，其 傅里叶变换(Fourier transform) 是由下式定义的函数 $\mathcal{F}\phi$：

$$\mathcal{F}\phi (y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-ixy}\phi (x)\mathrm{d}x.$$

傅里叶逆变换(inverse Fourier transform) 由下式定义

$${\mathcal{F}}^{-1}\phi (y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{ixy}\phi (x)\mathrm{d}x.$$

傅里叶积分定理适用于所有满足 $\phi$ 的函数 $|\phi |$，使得 $[-\infty ,\infty ]$ 在 ${\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}\phi =\phi$ 上可积且有界变差，该定理指出，以积分形式表示为

$$\begin{array}{l}\phi (a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mathrm{d}y{\mathrm{e}}^{iay}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-iyx}\phi (x)\mathrm{d}x\\ =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\mathrm{d}x\phi (x){\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{iy(a-x)}\mathrm{d}y.\end{array}$$

本定理的证明可在许多实分析书中找到。读者可参阅[6，第7章]或[2，$p$. 88]。

将标准积分法则应用于狄拉克函数，我们预期

$${\delta }_a(x)=\delta (x-a)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{iy(a-x)}\mathrm{d}y,\text{\hspace{1em}(12.10)}$$

或者，令$a=0$并利用$\delta (x)=\delta (-x)$，

$$\delta (x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-iyx}\mathrm{d}y=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{iyx}\mathrm{d}y.\text{\hspace{1em}(12.11)}$$

类似地，狄拉克函数的傅里叶变换应为

$$\mathcal{F}\delta (y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-ixy}\delta (x)\mathrm{d}x=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\text{\hspace{1em}(12.12)}$$

而式 (12.11) 与

$$\delta (x)={\mathcal{F}}^{-1}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{ixy}\mathrm{d}y.\text{\hspace{1em}(12.13)}$$

数学一致性可以通过将分布 $T$ 的傅里叶变换定义为由下式给出的分布 $\mathcal{F}T$ 来实现

$$\mathcal{F}T(\phi )=T(\mathcal{F}\phi ),\text{\hspace{1em}(12.14)}$$

对于所有试验函数 $\phi .$。对于正则分布，我们于是得到所需结果，

$$T_{\mathcal{F}f}(\phi )=\mathcal{F}{T}_f(\phi ),$$

由于

$$\begin{array}{l}\mathcal{F}{T}_f(\phi )=T_f(\mathcal{F}\phi )\\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }({\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-iyx}\phi (x)\mathrm{d}x)f(y)\mathrm{d}y\\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)({\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-iyx}f(y)\mathrm{d}y)\mathrm{d}x\\ ={\int }_{-\infty }^{\infty }\phi (x)\mathcal{F}f(x)\mathrm{d}x\\ =T_{\mathcal{F}f}(\phi ).\end{array}$$

若傅里叶逆变换在分布上由 ${\mathcal{F}}^{-1}T(\phi )=T({\mathcal{F}}^{-1}\phi )$ ) 定义，则

$${\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}T=T,$$

对于

$${\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}T(\phi )=\mathcal{F}T({\mathcal{F}}^{-1}\phi )=T(\mathcal{F}{\mathcal{F}}^{-1}\phi )=T(\phi ).$$

然而，这些定义存在一个严重问题。若 $\phi$ 是具紧支集的函数，则 $\mathcal{F}\phi$ 一般为整解析函数，因而不可能具有紧支集，因为一个在任何开集上为零的整函数必定处处为零。因此，式 (12.14) 的右端一般并非良定义。绕过这一困难的一种方法是定义一个更一般的试验函数空间 $S(\mathbb{R})$，称为 快速下降函数(rapidly decreasing function) 空间——即当 $|x|\to \infty$ 时趋于 0 的速度快于任何逆幂 $|x{|}^{-n}$ 的函数，

$$\mathcal{S}(\mathbb{R})=\{\phi |\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|x^m{\phi }^{(p)}(x)|<\infty \text{ for all integers }m,p>0\}.$$

$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ 中的收敛由 ${\phi }_n\to \phi$ 定义，当且仅当

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|x^m({\phi }^{(p)}(x)-{\phi }^{(p)})|=0\text{ for all integers }m,p>0.$$

$S(\mathbb{R})$ 上的连续线性函数空间记作 $S^{\prime }(\mathbb{R})$，其中的元素称为 缓增分布(tempered distribution)。由于每个试验函数显然都是快速下降函数，故 $\mathcal{D}(\mathbb{R})\subset S(\mathbb{R})$。若 $T$ 是式 (12.14) 中的缓增分布，则傅里叶变换 $\mathcal{F}T$ 有定义，因为可以证明任何快速下降函数的傅里叶变换仍是快速下降函数。

例 12.8

增量分布的傅里叶变换定义为

$$\begin{array}{l}\mathcal{F}{\delta }_a(\phi )={\delta }_a(\mathcal{F}\phi )\\ =\mathcal{F}\phi (a)\\ =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-iax}\phi (x)\mathrm{d}x\\ =T_{(2\pi {)}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{iax}}(\phi ).\end{array}$$

类似地

$${\mathcal{F}}^{-1}{T}_{{\mathrm{e}}^{-iax}}=\sqrt{2\pi }{\delta }_a.$$

这些分布方程的狄拉克函数版本是

$$\mathcal{F}{\delta }_a(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-iyx}\delta (x-a)\mathrm{d}x=\frac{{\mathrm{e}}^{-iay}}{\sqrt{2\pi }}$$

和

$${\mathcal{F}}^{-1}{\mathrm{e}}^{-iax}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{ixy}{\mathrm{e}}^{-iax}\mathrm{d}x=\sqrt{2\pi }\delta (x-a),$$

与上文式 (12.10)–式 (12.13) 一致。

习题

习题 12.10

求下列函数的傅里叶变换

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }-a\le x\le a\\ 0& \text{ otherwise }\end{array}$$

和

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}1-\frac{|x|}{2}& \text{ if }-a\le x\le a\\ 0& \text{ otherwise. }\end{array}$$

习题 12.11

证明

$$\mathcal{F}\left({\mathrm{e}}^{-a^2{x}^2/2}\right)=\frac{1}{|a|}{\mathrm{e}}^{-k^2/2a^2}.$$

习题 12.12

求下列分布函数的傅里叶变换：

(a) $\delta (x-a).$

(b) ${\delta }^{\prime }(x-a).$

(c) ${\delta }^{(n)}(x-a)$

(d) $\delta (x^2-a^2)$

(e) ${\delta }^{\prime }(x^2-a^2)$

习题 12.13

证明：

$$x^m{\delta }^{(n)}(x)=(-1{)}^m\frac{n!}{(n-m)!}{\delta }^{(n-m)}(x)\text{ for }n\ge m.$$

因此证明该分布的傅里叶变换

$$\sqrt{2\pi }\frac{k!}{(m+k)!}{x}^m{\delta }^{(m+k)}(-x)(m,k\ge 0)$$

$(-iy{)}^k$

习题 12.14

证明该分布的傅里叶变换

$${\delta }_0+{\delta }_a+{\delta }_{2a}+\cdots +{\delta }_{(2n-1)a}$$

是一个具有密度的分布

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{\sin (nay)}{\sin (\frac{1}{2}ay)}{\mathrm{e}}^{-(n-\frac{1}{2})iay}.$$

证明

$${\mathcal{F}}^{-1}(f(y){\mathrm{e}}^{iby})=({\mathcal{F}}^{-1}f)(x+b).$$

因此求其傅里叶逆变换

$$g(y)=\frac{\sin nay}{\sin (\frac{1}{2}ay)}.$$