12.4 格林函数

English

分布理论常常可以通过 格林函数(Green’s function) 的技巧来求非齐次线性偏微分方程的解。这里给出两个重要的标准例子。

泊松方程

求解非齐次方程，例如泊松方程

$${\nabla }^2\varphi =-4\pi \rho \text{\hspace{1em}(12.15)}$$

我们寻求分布方程的一个解

$${\nabla }^{2}G(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })={\delta }^3(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })=\delta (x-x^{\prime })\delta (y-y^{\prime })\delta (z-z^{\prime }).\text{\hspace{1em}(12.16)}$$

于是，泊松方程 Eq. (12.15) 的一个解为

$$\varphi (\mathbf{x})=-\iiint 4\pi \rho ({\mathbf{x}}^{\prime })G(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{x}^{\prime },$$

对于

$$\begin{array}{l}{\nabla }^2\varphi =-\iiint 4\pi \rho ({\mathbf{x}}^{\prime }){\nabla }^{2}G(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }\\ =-\iiint 4\pi \rho ({\mathbf{x}}^{\prime }){\delta }^3(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }){\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }\\ =-4\pi \rho (\mathbf{x}).\end{array}$$

为求解，令

$$g(\mathbf{k})=\mathcal{F}G=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\iiint }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{y}}G(\mathbf{y}){\mathrm{d}}^{3}y.$$

根据傅里叶定理

$$G(\mathbf{y})=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\iiint }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{y}}g(\mathbf{k}){\mathrm{d}}^{3}k,$$

这意味着

$${\nabla }^{2}G(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })=\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}}{\iiint }_{-\infty }^{\infty }-{\mathbf{k}}^2{e}^{i\mathbf{k}\cdot (\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })}g(\mathbf{k})d^{3}k.$$

但

$$\begin{array}{l}\delta (\mathbf{y})=\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{i{k}_1{y}_1}\mathrm{d}{k}_1{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{i{k}_2{y}_2}\mathrm{d}{k}_2{\int }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{i{k}_3{y}_3}\mathrm{d}{k}_3\\ =\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\iiint }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{y}}{\mathrm{d}}^{3}k,\end{array}$$

因此

$${\delta }^3(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })=\frac{1}{2{\pi }^3}{\iiint }_{-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{i\mathbf{k}\cdot (\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })}{\mathrm{d}}^{3}k.$$

代入方程 (12.16) 得

$$g(\mathbf{k})=-\frac{1}{(2\pi {)}^{3/2}{\mathbf{k}}^2},$$

和

$$G(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })=-\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\iiint }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{y}}}{{\mathbf{k}}^2}{\mathrm{d}}^{3}k.\text{\hspace{1em}(12.17)}$$

在$k$空间中的积分最好使用极坐标$(k,\theta ,\varphi )$进行，其中$k_3$轴指向$\mathbf{R}=\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }$方向（见图12.2）。于是

$$\mathbf{k}\cdot (\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })=kR\cos \theta (k=\sqrt{\mathbf{k}\cdot \mathbf{k}})$$

和

$${\mathrm{d}}^{3}k=k^2\sin \theta \mathrm{d}k\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\varphi .$$

图 12.2 $k$ 空间中的极坐标变换。

这导致

$$\begin{array}{l}G(\mathbf{R})=-\frac{1}{(2\pi {)}^3}{\int }_0^{\infty }\mathrm{d}k{\int }_0^{\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\varphi \frac{{\mathrm{e}}^{ikR\cos \theta }}{k^2}{k}^2\sin \theta \\ =-\frac{2\pi }{(2\pi {)}^3}{\int }_0^{\infty }\mathrm{d}k{\int }_0^{\pi }\mathrm{d}\theta \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\left(\frac{-{\mathrm{e}}^{ikR\cos \theta }}{ikR}\right)\\ =-\frac{1}{(2\pi {)}^{2}R}{\int }_0^{\infty }\mathrm{d}k\frac{{\mathrm{e}}^{ikR}-{\mathrm{e}}^{-ikR}}{ik}\\ =-\frac{1}{(2\pi {)}^{2}R}{\int }_0^{\infty }\mathrm{d}k2\frac{\sin kR}{k}\\ =-\frac{1}{4\pi R},\end{array}$$

利用著名的定积分

$${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}.$$

因此

$$G(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })=-\frac{1}{4\pi |\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|},\text{\hspace{1em}(12.18)}$$

而泊松方程 Eq. (12.15) 的一个解是

$$\varphi (\mathbf{x})=\iiint \frac{\rho ({\mathbf{x}}^{\prime })}{|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}{d}^3{x}^{\prime },$$

其中积分遍及整个空间，$-\infty <x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }<\infty$。对于点电荷，$\rho (\mathbf{x})=q{\delta }^3(\mathbf{x}-\mathbf{a})$，该解退化为标准的库仑解

$$\varphi (\mathbf{x})=\frac{q}{|\mathbf{x}-\mathbf{a}|}.$$

波动方程的格林函数

为求解非齐次波动方程

$$\square \psi =-\frac{{\partial }^2}{c^2\partial t^2}\psi +{\nabla }^2\psi =f(\mathbf{x},t)\text{\hspace{1em}(12.19)}$$

最好采用相对论性4-向量记号，令$x^4=ct$。于是波动方程可以写成如9.4节中的形式，

$$\square \psi =g^{\mu \nu }\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\frac{\partial }{\partial x^{\nu }}\psi =f(x)$$

其中 $\mu$ 与 $\nu$ 从 1 取到 $4$, $g^{\mu \nu }$，是具有对角分量 $1,1,1,-1$ 的对角度量张量，而最后一项中的自变量 $x$ 是 $(\mathbf{x},x^4)$ 的简写）。

我们再次寻找该方程的一个解

$$\square G(x-x^{\prime })={\delta }^4(x-x^{\prime })\equiv \delta (x^1-x^{\prime 1})\delta (x^2-x^{\prime 2})\delta (x^3-x^{\prime 3})\delta (x^4-x^{\prime 4}).\text{\hspace{1em}(12.20)}$$

每个格林函数 $G$ 生成方程 (12.19) 的一个解 ${\psi }_G(x)$，

$${\psi }_G(x)=\iiint \int G(x-x^{\prime })f(x^{\prime }){\mathrm{d}}^4{x}^{\prime }$$

对于

$$\square {\psi }_G=\iiint \square G(x-x^{\prime })f(x^{\prime }){\mathrm{d}}^4{x}^{\prime }=\iiint {\delta }^4(x-x^{\prime })f(x^{\prime }){\mathrm{d}}^4{x}^{\prime }=f(x).$$

随文练习

证明非齐次波动方程 (12.19) 的通解具有形式 ${\psi }_G(x)+\varphi (x)$，其中 $\sqcap \varphi =0$

集合

$$G(x-x^{\prime })=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\iiint \int g(k)e^{ik.(x-x^{\prime })}{d}^{4}k$$

其中 $k=(k_1,k_2,k_3,k_4)$，且

$$k.(x-x^{\prime })=k_{\mu }(x^{\mu }-x^{\prime \mu })=k_4(x^4-x^{\prime 4})+\mathbf{k}.\cdot (\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })$$

而 ${\mathrm{d}}^{4}k=\mathrm{d}{k}_1\mathrm{d}{k}_2\mathrm{d}{k}_3\mathrm{d}{k}_4$。将四维 $\delta$ 函数写成傅里叶变换，我们有

$$\begin{array}{c}\square G(x-x^{\prime })=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\iiint \iint -k^{2}g(k){\mathrm{e}}^{ik.(x-x^{\prime })}{\mathrm{d}}^{4}k\\ ={\delta }^4(x-x^{\prime })=\frac{1}{(2\pi {)}^4}\iiint \iint e^{ik.(x-x^{\prime })}{\mathrm{d}}^{4}k,\end{array}$$

因此

$$g(k)=-\frac{1}{4{\pi }^2{k}^2}$$

图 12.3 三维波动方程的格林函数

其中 $k^2\equiv k.k=k_{\mu }{k}^{\mu }$。因此，格林函数的傅里叶变换表达式为

$$G(x-x^{\prime })=-\frac{1}{(2\pi {)}^4}\iiint \int \frac{{\mathrm{e}}^{ik.(x-x^{\prime })}}{k^2}{\mathrm{d}}^{4}k.\text{\hspace{1em}(12.21)}$$

为计算该积分集合

$$\tau =x^4-{x^{\prime }}^4,\mathbf{R}=\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime },K=|\mathbf{k}|=\sqrt{\mathbf{k}\cdot \mathbf{k}},$$

因此 $k^2=K^2-k_4^2$ 且

$$G(x-x^{\prime })=\frac{1}{(2\pi {)}^4}{\int }_{-\infty }^{\infty }\mathrm{d}{k}_4\frac{{\mathrm{e}}^{i{k}_4\tau }}{k_4^2-K^2}\iiint {\mathrm{d}}^{3}k{\mathrm{e}}^{i\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}}.$$

在复平面 $k_4-\mathrm{plane}$ 中变形路径以避开位于 $k_4=\pm K$ 的极点奇点，如图 12.3 所示——然而，请使自己确信，这对满足式 (12.20) 的 $G$ 没有影响。

对于 $\tau >0$，围道通过上半半圆以逆时针方向补全，并且

$$\begin{array}{c}{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{i{k}_4\tau }}{k_4^2-K^2}\mathrm{d}{k}_4=2\pi i\times \text{ sum of residues }\\ =2\pi i(\frac{{\mathrm{e}}^{iK\tau }}{2K}-\frac{{\mathrm{e}}^{-iK\tau }}{2K}).\end{array}$$

对于 $\tau <0$，我们用顺时针方向的下半圆补全围道；没有极点被包围，积分消失。因此

$${\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{i{k}_4\tau }}{k_4^2-K^2}\mathrm{d}{k}_4=-\frac{2\pi }{K}\theta (\tau )\sin K\tau$$

其中 $\theta (\tau )$ 是亥维赛德阶跃函数。

这一特定的围道给出的格林函数在 $\tau <0;$ 时为零；也就是说，对于 $x^4<x^{\prime 4}$ 为零。因此它被称为 出射波条件(outgoing wave condition) 或 推迟格林函数(retarded Green’s function)，因为在 $({\mathbf{X}}^{\prime },x^{\prime 4})$ 才接通的源只影响较晚时刻的场点。如果当初选择围道位于极点上方，那么就会得到 入射波条件(ingoing wave condition) 或 超前格林函数(advanced Green’s function)。

为完成 $G$ 的计算，在 $k$ 空间中使用极坐标，并使 $k$ 轴平行于 $\mathbb{R}$。由此得到

$$\begin{array}{l}G(x-x^{\prime })=-\frac{1}{(2\pi {)}^3}\theta (\tau ){\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\varphi {\int }_0^{\infty }\mathrm{d}K{\int }_0^{\pi }\mathrm{d}\theta K^2\sin \theta {\mathrm{e}}^{iKR\cos \theta }\frac{\sin K\tau }{K}\\ =-\frac{\theta (\tau )}{2{\pi }^{2}R}{\int }_0^{\infty }\mathrm{d}K\sin K\tau \sin KR\\ =-\frac{\theta (\tau )}{2{\pi }^{2}R}{\int }_0^{\infty }\mathrm{d}K\frac{({\mathrm{e}}^{iK\tau }-{\mathrm{e}}^{-iK\tau })}{2i}\frac{({\mathrm{e}}^{iKR}-{\mathrm{e}}^{-iKR})}{2i}\\ =\frac{\theta (\tau )}{4\pi R}(\delta (\tau +R)-\delta (\tau -R))\\ =-\frac{\delta (\tau -R)}{4\pi R}.\end{array}$$

最后一步之所以成立，是因为整个表达式由于 $\theta (\tau )$ 因子而在 $\tau <0$ 时为零，而当 $\tau >0$ 时我们有 $\delta (\tau +R)=0$ 。因此格林函数可以写成

$$G(x-x^{\prime })=-\frac{1}{4\pi |\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}\delta (x^4-x^{\prime 4}-|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|),\text{\hspace{1em}(12.22)}$$

其仅在 $x^{\prime }$ 的未来光锥上非零

由该格林函数生成的非齐次波动方程 Eq. (12.19) 的解为

$$\begin{array}{rl}\psi (\mathbf{x},t)& =\iiint G(x-x^{\prime })f(x^{\prime }){\mathrm{d}}^4{x}^{\prime }\\ & =-\frac{1}{4\pi }\iiint \frac{[f({\mathbf{x}}^{\prime },t^{\prime }){]}_{\text{ ret }}}{|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{x}^{\prime }\end{array}\text{\hspace{1em}(12.23)}$$

其中 $[f({\mathbf{x}}^{\prime },t^{\prime }){]}_{\mathrm{ret}}$ 表示在推迟时间处计算的 $f$

$$t^{\prime }=t-\frac{|\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime }|}{c}.$$

习题

习题 12.15

证明定态克莱因–戈尔登方程的格林函数

$$({\nabla }^2-m^2)\varphi =\rho (\mathbf{r})$$

可表示为傅里叶积分

$$G(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })=-\frac{1}{(2\pi {)}^3}\int \int \int {\mathrm{d}}^{3}k\frac{{\mathrm{e}}^{i\mathbf{k}.(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })}}{{\mathbf{k}}^2+m^2}.$$

计算该积分并证明其结果等于

$$G(\mathbf{R})=-\frac{{\mathrm{e}}^{-mR}}{4\pi R}\text{ where }\mathbf{R}=\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime },R=|\mathbf{R}|.$$

求对应于点源的解 $\varphi$

$$\rho (\mathbf{r})=q{\delta }^3(\mathbf{r}).$$

习题 12.16

证明一维扩散方程的格林函数，

$$\frac{{\partial }^{2}G(x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{\kappa }\frac{\partial G(x,t)}{\partial t}=\delta (x-x^{\prime })\delta (t-t^{\prime })$$

由下式给出

$$G(x-x^{\prime },t-t^{\prime })=-\theta (t-t^{\prime })\sqrt{\frac{\kappa }{4\pi (t-t^{\prime })}}{\mathrm{e}}^{-(x-x^{\prime }{)}^2/4\kappa (t-t^{\prime })},$$

并写出非齐次方程相应的解

$$\frac{{\partial }^2\psi (x,t)}{\partial x^2}-\frac{1}{\kappa }\frac{\partial \psi (x,t)}{\partial t}=F(x,t).$$

对二维和三维扩散方程做同样处理

$${\nabla }^{2}G(x,t)-\frac{1}{\kappa }\frac{\partial G(x,t)}{\partial t}={\delta }^n(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}^{\prime })\delta (t-t^{\prime })(n=2,3).$$