逐字来源、作者主张与候选译文分别保留。工程核验不批准 OCR、译文或数学正确性。
书库概念：同调群。 阅读背景：读到定义3.5：为什么能取这个商群（编辑导航，不计作者依赖）。
定理 4.9
对连通单纯复形 K，第一同调群 H_1(K) 同构于基本群 π_1(|K|) 模去其换位子群 F。
条件与约定：K 为连通单纯复形；F 为 π_1(|K|) 的换位子群。
符号：
本轮候选译文（待人工核对）
定理 4.9。设 为连通单纯复形。则 同构于 ，其中 是 的换位子群（见后文）。
逐字作者来源与版本
Theorem 4.9. Let $K$ be a connected simplicial complex. Then $H_{1}(K)$ is isomorphic to $\pi_1(|K|)/F$ , where $F$ is the commutator subgroup (see later) of $\pi_1(|K|)$ .PDF 文件页：164；OCR 未因此获得逐页核验。
后文使用：例 4.11 Klein 瓶。
后文使用：推论 4.2。
后文使用：推论 4.3。
后文使用：定理 4.9 应用于 2-bouquet。
换位子群定义
对表示为 (x_i; r_m) 的群 G，其换位子群 F 由形如 x_i x_j x_i^{-1} x_j^{-1} 的元素生成；商群 G/F 由 {x_i} 生成，关系集为 {r_m} 并上所有换位子关系。
条件与约定：G 有给定表示 (x_i; r_m)。
符号：, ,
本轮候选译文（待人工核对）
设 是一个表示为 的群。 的换位子群 是由形如 的元素生成的群。因此， 是由 生成、关系集为 和 的群。该定理表明，若 ，则 。例如，由 -bouquet) ，我们得到
逐字作者来源与版本
Let $G$ be a group whose presentation is $(x_i; r_m)$ . The commutator subgroup $F$ of $G$ is a group generated by the elements of the form $x_i x_j x_i^{-1} x_j^{-1}$ . Thus, $G / F$ is a group generated by $\{x_i\}$ with the set of relations $\{r_m\}$ and $\{x_i x_j x_i^{-1} x_j^{-1}\}$ .PDF 文件页：164；OCR 未因此获得逐页核验。
书库概念：同调群。 阅读背景：读到定义3.5：为什么能取这个商群（编辑导航，不计作者依赖）。
定理 4.9 应用于 2-bouquet
由 π_1(2-bouquet) = (x, y : ∅) 及定理 4.9，得到 H_1(2-bouquet) ≅ (x, y : ∅, xyx^{-1}y^{-1}) ≅ Z ⊕ Z。
条件与约定：π_1(2-bouquet) 的自由群表示已知。
符号：-bouquet)H_{1}(2
本轮候选译文（待人工核对）
设 是一个表示为 的群。 的换位子群 是由形如 的元素生成的群。因此， 是由 生成、关系集为 和 的群。该定理表明，若 ，则 。例如，由 -bouquet) ，我们得到
它同构于 -bouquet)。
逐字作者来源与版本
The theorem states that if $\pi_1(|K|) = (x_i : r_m)$ , then $H_1(K) \cong (x_i : r_m, x_i x_j x_i^{-1} x_j^{-1})$ . For example, from $\pi_1(2$ -bouquet) $= (x, y : \emptyset)$ , we findwhich is isomorphic to $H_{1}(2$ -bouquet).PDF 文件页：164；OCR 未因此获得逐页核验。
使用前置陈述：定理 4.9。作者以 ‘The theorem states’ 回指定理 4.9 的结论来推导 bouquet 的同调群。
证据：作者承接
The theorem states that if $\pi_1(|K|) = (x_i : r_m)$ , then $H_1(K) \cong (x_i : r_m, x_i x_j x_i^{-1} x_j^{-1})$ .
定理 4.9 证明的外部引用
定理 4.9 的证明见于 Greenberg 和 Harper (1981)，并在 Croom (1978) 中给出概要；本书未提供完整证明。
条件与约定：无本地证明。
本轮候选译文（待人工核对）
定理 4.9 的证明见于 Greenberg 和 Harper (1981)，并在 Croom (1978) 中给出概要。
逐字作者来源与版本
The proof of theorem 4.9 is found in Greenberg and Harper (1981) and also outlined in Croom (1978).PDF 文件页：164；OCR 未因此获得逐页核验。
书库概念：同调群。 阅读背景：读到定义3.5：为什么能取这个商群（编辑导航，不计作者依赖）。
例 4.11 Klein 瓶
由 π_1(Klein bottle) ≅ (x, y; xyxy^{-1})，通过添加换位子关系 xyx^{-1}y^{-1}=1 并化简得 H_1(Klein bottle) ≅ Z ⊕ Z_2，其中 Z 由 y 生成，Z_2 由 x 生成。
条件与约定：Klein 瓶基本群的表示已知。
符号：,
本轮候选译文（待人工核对）
例 4.11。由 ，我们有
两个关系被替换为 和 ，从而得到
其中因子 由 生成， 由 生成。
逐字作者来源与版本
Example 4.11. From $\pi_1(\text{Klein bottle}) \cong (x, y; xyxy^{-1})$ , we haveTwo relations are replaced by $x^{2} = 1$ and $xyx^{-1}y^{-1} = 1$ to yieldwhere the factor $\mathbb{Z}$ is generated by $y$ and $\mathbb{Z}_2$ by $x$ .PDF 文件页：164；OCR 未因此获得逐页核验。
使用前置陈述：定理 4.9。例 4.11 的计算过程正是定理 4.9 所述构造的具体实施：取基本群模去换位子群。
证据：构造使用（待独立复核）
Example 4.11. From $\pi_1(\text{Klein bottle}) \cong (x, y; xyxy^{-1})$ , we have
推论 4.2
对连通拓扑空间 X，π_1(X) 同构于 H_1(X) 当且仅当 π_1(X) 是交换的。特别地，若 π_1(X) 由单个生成元生成，则 π_1(X) 总同构于 H_1(X)。
条件与约定：X 为连通拓扑空间。
符号：,
本轮候选译文（待人工核对）
推论 4.2。设 为连通拓扑空间。则 同构于 当且仅当 是交换的。特别地，若 由一个生成元生成，则 总是同构于 。[使用定理 4.9。]
逐字作者来源与版本
Corollary 4.2. Let $X$ be a connected topological space. Then $\pi_1(X)$ is isomorphic to $H_1(X)$ if and only if $\pi_1(X)$ is commutative. In particular, if $\pi_1(X)$ is generated by one generator, $\pi_1(X)$ is always isomorphic to $H_1(X)$ . [Use theorem 4.9.]PDF 文件页：164；OCR 未因此获得逐页核验。
使用前置陈述：定理 4.9。作者明确指示使用定理 4.9 来推导此推论。
证据：作者编号回指
[Use theorem 4.9.]
书库概念：同调群。 阅读背景：读到定义3.5：为什么能取这个商群（编辑导航，不计作者依赖）。
推论 4.3
若 X 与 Y 具有相同的同伦型，则它们的第一同调群相同：H_1(X) = H_1(Y)。
条件与约定：X 与 Y 具有相同的同伦型。
符号：
本轮候选译文（待人工核对）
推论 4.3。若 与 具有相同的同伦型，则它们的第一同调群相同：。[使用定理 4.9 和 4.3。]
逐字作者来源与版本
Corollary 4.3. If $X$ and $Y$ are of the same homotopy type, their first homology groups are identical: $H_{1}(X) = H_{1}(Y)$ . [Use theorems 4.9 and 4.3.]PDF 文件页：164；OCR 未因此获得逐页核验。
使用前置陈述：定理 4.9。作者明确指示使用定理 4.9 作为推导依据之一。
证据：作者编号回指
[Use theorems 4.9 and 4.3.]待定位的入口与作者引用
- 定理 4.9 证明的外部引用：关于定理 4.9 证明出处的说明，不匹配已建立的数学概念条目。
- 换位子群定义：本次仅提供了“对易子 commutator”入口，不能据此把换位子群当作同一概念；全库未找到独立换位子群身份，保留未匹配并待人工定位。
尚未完全定位的引用（原文：theorems 4.9 and 4.3）。推论 4.3 引用了定理 4.3，但该定理的内容不在当前源单元中，无法绑定其具体断言。
[Use theorems 4.9 and 4.3.]